Теория фазовых переходов - Синай Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
х (Г) +
54
фазовые диаграммы решетчатых сйсГем ipji 2
+ 2х(П/?(Г;Р)], взятого по всевозможным наборам и(Г), для которых 2 х (Г)
vp (Г) = 1 - с.
Будем рассматривать каждую область, ограниченную Г, как зародыш фазы с
преимущественной концентрацией -1. В таком случае vp(D близко к объему I
'О (Г) I, ограниченному контуром Г. Обычное допущение состоит в том, что
функция F(T\ р) допускает представление в виде F{T, р)==ар1/0'(Г)| -
хр(П1Г|, где IГI -длина контура Г и ар не зависит от Г, а зависит только
от р, а %р(Г) есть поверхностное натяжение, %р(Г)~ const • р при р
Величина ар ~ e"const p при р оо.
Подставляя выражение для F(T; р), получим, что задача сводится к
максимизации выражения
- 2 х (Г) In х (Г) + 2 х (Г) (ap | о (Г) | - Ц (Г) | Г |)
по всем х(Г) при условии X и (1') vp (О = 1 - с- Обыч-ный метод
множителей Лагранжа приводит к такому результату:
х (Г) = ехр (- 1 + ap i Ь (Г) | - pvp (Г) - (Г) | Г |},
где множитель р, подбирается из условия2^(Г) v(r)=:
= 1-С.
Из последнего выражения видно, что должно быть р ^ -ар, причем значению р
= -ар отвечает как раз величина с*. Параметр р должен быть настолько
большим, что ряд ^ v (Г; e~^{1)1 < 1. При таком условии можно показать,
что функция /(с; р) является гладкой функцией при - 1 < с < -с* и с* < с
< 1, а при -с* < с < с* наиболее выгодные конфигурации, т. е.
конфигурации, сумма по которым вносит основной вклад в малую
статистическую сумму Z(F; с, р), таковы, что имеется один большой контур,
ограничиваю-
у- I V~\
щий объем У", - (-с*) + II pr I с* = с, внутри которого большая
концентрация -1, а вне этого объема большая концентрация + 1. Иными
словами, основной вклад в малую статистическую сумму вносят конфигурации,
у которых происходит конденсация и пространственное разделение фаз.
ВВЕДЕНИЕ
55
При последовательпом и более аккуратном проведении всех этих рассуждений
необходимо, в первую очередь, показать возможность представления
логарифма статистической суммы 1пЗ(Г|[})- F{T; [}) в виде
F(T; р) = aplfKDI - %р(Г)|Г|,
т. е., по существу, определить поверхностное натяжение. Как известно,
поверхностное натяжение не является термодинамическим потенциалом.
Поэтому его последовательное определение из распределения Гиббса весьма
трудно. Более того, его можно определить только вне точек фазового
перехода второго рода, где поверхностное натяжение вообще равно
бесконечности. Для рассматриваемого в этой главе класса решетчатых систем
из приводимых далее рассуждений комбинаторного характера вытекает
возможность определения поверхностного натяжения из распределения Гиббса
при больших (}. Другая, менее принципиальная, трудность состоит в том,
чтобы действительно показать, что конфигурации с пространственным
разделением фаз вносят основной вклад в малую статистическую сумму. Для
модели Изинга это было показано в [28], [29].
Предлагаемое в этой главе исследование фазовых диаграмм решетчатых систем
при больших [} идет в несколько другом направлении. Мы проводим все
рассмотрения в рамках большого канонического ансамбля и показываем, что
статистические суммы в конечных объемах удовлетворяют специальной системе
рекуррентных уравнений, из которых вытекает, что эти суммы имеют весьма
специальный комбинаторный характер и, в частности, связаны со
специальными контурными моделями, введенными в [28], [29], и с контурными
моделями с параметром, введенным в [34J. После этого получение нужной
информации о фазовых диаграммах уже не требует большого труда. Можно было
бы вернуться к приведенным выше рассуждениям и показать их законность, но
мы уже этого не делаем.
Перейдем тедерь к более последовательному изложению.
56
ФАЗОВЫЕ ДИАГРАММЫ РЕШЕТЧАТЫХ СИСТЕМ [ГЛ. 2
В этой главе мера % представляет собой равномерное распределение на Ф, т.
е. %(ср)- 1/1ФI для любого ф^Ф. Насколько это возможно, мы будем
использовать обозначения главы 1. Запись ф = ф(а. s.) для произвольных ф,
'ф ^ Q означает, что неравенство ф(а:)^ г|)(;г) выполняется лишь для
конечного множества х. Далее, для W с= Zd через 6(И7) обозначается
диаметр И7, т. е. б (W) = snp || х - у ||,
x,y<EW
d (х, W) = min i| х - у ||, d (F, W) = min || х - у ||.
yew x^v
yew
Куб с центром в точке х и со стороной 2,9 обозначается Ws(x), т. е.
Ws(x)= {у ^Zd\Wx - у\\ ^ s}. Для множества V <= Zd через V обозначено
дополнение к V, т. е. V = Zd - У, граница 3V множества V есть dV = =
{x\x€eV, d(x, F)-l}.
Радиус взаимодействия, отвечающий потенциалу Д, обозначается /?, т. е.
3(ф(Т0)= О, если diam V > /?. Удобно также в ряде случаев использовать
функцию
СНФ)= 2 -(3(Ф(И0).
W.'XEW1 1
Мы рассмотрим однопараметрические семейства гамильтонианов 0^(3<<эо,
II 2 -3 (ф (V)).
vc.zd
Условные вероятности для условного распределения Гиббса имеют вид
/>(cp(V)|9(Zd-V)) =
= в Лyd-wexp(~^ 2 3(ф(Ж))|. (2.1)
-vT, р, - V)) { w: vnw#0 J
В дальнейшем удобно пользоваться относительным гамильтонианом Н(ф|ф),
определенным для произвольных ф, фе Д ф = ф (a. s.), где
