Современные проблемы эргодической теории - Синай Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
ц).
Определение 4. Множество Ае Л называется инвариантным mod 0 относительно
динамической системы {Р}, если [i(AAT~'A) = 0 для любого t.
Инвариантные mod 0 множества образуют ст-подалгебру, которую мы обозначим
Л'~'п'1). В формулировке эргодической теоремы Биркгофа -Хинчина (см.
предыдущую лекцию) предельные функции / измеримы относительно Л<lnv). В
силу соответствия между ст-подалгебрами и измеримыми разбиениями Л - Л
Это разбиение Ъ, называется неподвижным разбиением (по отношению к
динамической системе {Г'}). Мы будем его обозначать ^(inv).
В случае дискретного времени t нетрудно доказать следующую лемму.
Лемма 1. Если А инвариантно mod0, то существует такое инвариантное А2, т.
е. А1 = Т~'А1 при всех t, что ц(Л = 0.
В случае непрерывного времени для получения аналогичного результата
иногда приходится менять на множестве меры 0 саму динамическую систему.
Имеет место следующая теорема.
Теорема 2 (фон Нейман [3], Рохлин [4]). В пространстве Лебега (М, Л, ц)
можно найти М<=М, ц(М)= 1, и можно изменить динамическую систему на
множестве меры 0, т. е. найти {Г'} такие, что для любого t справедливо
Т'х = Т'х для почти всех х. При этом о-подалгебры инвариантных mod0
множеств у {Г'} и {Г'} совпадают, а соответствующе разбиения^(lnv),
|(lnv) совпадают modO. Каждый элемент C^(inv) инвариантен относительно
{Г'}, т. е. ^'^(mv) = C-(i"v), и {Р} сохраняет условную меру ц{ • |
C~(inv)}.
Чуть позже мы объясним, что |<inv) является наибольшим из измеримых
разбиений, обладающих перечисленными свойствами.
21
Центральным понятием эргодической теории является понятие эргодичности.
Определение 5. Динамическая система {Т'} называется эргодической, если
всякое инвариантное mod 0 множество имеет меру 0 или 1.
Эквивалентные формулировки эргодичности:
A) Л(lnv) = jV, где Jf - тривиальная а-подалгебра множеств меры 0, 1.
B) ^(mv) = v (modO), где v-тривиальное разбиение, единственным элементом
которого является М.
C) В эргодической теореме Биркгофа-Хинчина предельная функция
/=J/(x)dp(x). В самом деле,/ измерима относительно Л(inv). Если Л(lnv) =
Jf, то /= const почти всюду. Эта константа должна равняться
математическому ожиданию, поскольку J/(x)dp(x) = J/(x)dp(x). В другую
сторону эквивалентность также легко доказывается. Ввиду С) эргодичность
часто формулируется как совпадение временных средних с пространственными.
D) Всякая инвариантная mod 0 функция /, т. е. /(Ггх)=/(х) и. в. для
любого t, есть константа п. в.
Понятие эргодичности было введено Больцманом в связи с основаниями
статистической механики. В дальнейшем было понято, что его роль для
статистической механики не столь значительна, поскольку там важнее, что
для систем статистической механики в процессах динамики участвует
огромное число отдельных молекул, атомов и т. п. и именно этот большой
параметр является определяющим. С другой стороны, для многих динамических
систем с фазовыми пространствами небольшой размерности часто бывает важно
знать, при каких условиях они эргодичны. В настоящее время это удается
выяснить для отдельных классов динамических систем. По существу, вокруг
этой проблемы и концентрируется содержание всей книги.
Пример 1. Пусть Т: Тог2->Тог2- групповой автоморфизм тора (см. пример 3
предыдущей лекции), задаваемый
Теорема 3. Автоморфизм Т эргодичен тогда и только тогда, когда матрица А
не имеет собственных значений, по модулю равных 1.
Доказательство. Пусть и Х2 - вещественные собственные значения матрицы
А', причем |X,! |> 1, Х2 =det AjXt, |^2|<1, ^i = (^ii. ^12) и e2 = (e2i,
е22)-соответствующие нормированные собственные векторы. Из вида
собственных
22
значений следует, что компоненты этих векторов рационально независимы.
Следовательно, любой ненулевой вектор и = (л1,л2) с целочисленными
компонентами имеет вид n = Ci (n)ci +с2 (п)е2, где обе координаты Су(п) и
с2(п) отличны от нуля, и траектория любого такого вектора (А')тп = =
A.?Ci(")ei + A.2c2(")e2, meZ1, бесконечна.
Предположим, что Т неэргодичен. Тогда существует инвариантная mod0
функция /(х, у)#const из Ь2(М, Ж, р). Пусть /(х, у)= ?
сле2,'г<"11+"2У)-разложение ее в ряд
Л = (Лл, л2)
Фурье, причем хотя бы для одного пф 0 коэффициент сп отличен от нуля. Из
инвариантности /(х, у) и единственности разложения в ряд Фурье следует,
что с" = с Так как
(А*) л
множество (А')тп бесконечно, функция /(х, у) не может принадлежать L2.
Тем самым наше предположение неверно. Допустим теперь, что | 1 = 1.
Тогда |А.2| = 1. Аналогичные
рассуждения показывают, что траектория любого целочисленного вектора п
содержит векторы, ограниченные по норме, и, следовательно, траектория
{{А')тп} состоит из конечного числа векторов. Тогда функция /(х, у)= ?
е2*'{"'*+"2У\ где
(А*)"
пфО, инвариантна и отлична от постоянной. Теорема доказана.
Теорема 2' (усиление теоремы 2). Пусть ^<lnv)-измеримое разбиение из
теоремы2. Ограничение {Г*} на каждый элемент C^(ini) эргодично.
Теоремы 2, 2' дают разложение произвольной динамической системы на
