Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Синай Я.Г. -> "Современные проблемы эргодической теории" -> 9

Современные проблемы эргодической теории - Синай Я.Г.

Синай Я.Г. Современные проблемы эргодической теории — М.: ФИЗМАТЛИТ, 1955. — 201 c.
Скачать (прямая ссылка): sovremennieproblemietnografii1995.pdf
Предыдущая << 1 .. 3 4 5 6 7 8 < 9 > 10 11 12 13 14 15 .. 68 >> Следующая

эргодические компоненты.
Пусть в фазовом пространстве (М, Jt) действует динамическая система {Г*},
сохраняющая одновременно меры pl5 ц2, причем {Г*} эргодична по отношению
к каждой из них.
Теорема 4. Если pi/р2, то меры pl5 р2 взаимно сингулярны.
Доказательство. В условиях теоремы найдется такая ограниченная измеримая
функция f что В силу
эргодической теоремы Биркгофа-Хинчина для дискретного времени
; I /(*"*)-
п
/d\ii для jj.!-почти всех х,
- ? /(Т'х)-> fd\i2 для ц2-почти всех х.
п (=0
23
Очевидно, что возникающие подмножества полной меры не пересекаются.
Аналогичное рассуждение справедливо в случае непрерывного времени.
Теорема доказана.
Определение 6. Динамическая система {Т'} называется строго эргодической,
если она имеет единственную инвариантную меру.
Пусть {Т'}-эргодическая динамическая система. Возьмем произвольную
функцию О, для которой \f(x)d\i (х) = 1. Тогда мы можем рассмотреть
"неравновесную" меру ц0,
-°/Х^=/(х). Сдвиг этой меры определяется соотношением <w)
р,(С) = Цо(7' 'С). Последнее равенство эквивалентно, как легко видеть,
тому, что ц, абсолютно непрерывна относитель-
но 11 и tw=/(rx)'
Определение 7. Динамическая система {Т'} называется перемешивающей, если
р,->ц при t-> со в том смысле, что для любой ограниченной измеримой
функции h
lim |А(х)</ц,(х) = lim jA(x)/0(7,'x)</p(x) = jA(x)</ц(х).
t-юо f-"oo
Определение перемешивания допускает и другую эквивалентную формулировку.
Определение 7. Динамическая система {Т'\ называется перемешивающей, если
для любых /, heL2(M, Jt, ц)
lim {/(Г'х) А (х) d\i = J/(x) d\i(х) J А (х) d\i(х).
t-* оо
Скалярное произведение J/(7,'x)A(x)</ц(х) иногда называется временной
корреляционной функцией. Во многих задачах важно не только устанавливать
перемешивание, но и исследовать скорость сходимости к пределу временных
корреляционных функций для естественных классов функций /, g.
Ясно, что перемешивание влечет эргодичность. В самом деле, если AeJtv""\
%А-индикатор А, то, полагая /(х) = Хэ (х), будем иметь
|/(Гх)А(х)</ц(х) = |хг-,л(х)А(х)ф(х) =
= 1хл(х)А(х)ф(х) - ц(Л)|А(х)</ц(х).
t-юэ
Отсюда, очевидно, следует, что ц(Л)=1.
Введем теперь понятие спектра динамической системы. Пусть {Т'}
динамическая система. Зададим оператор IIх
24
в пространстве L2(M, М, р) при помощи соотношения
(U'f)(x)=f(T'x).
Инвариантность меры р эквивалентна тому, что U1-изометрический оператор,
т. е. (U%, U'f2) = (f1,f2). Операторы U' образуют группу или полугруппу
изометрических операторов (в зависимости от значений /), сопряженную с
исходной динамической системой {Т'}.
Свойства динамической системы, которые выражаются через свойства группы
{?/'}, называются спектральными свойствами. Покажем, что эргодичность и
перемешивание являются спектральными свойствами.
Введем подпространство HcL2(М, М, р), состоящее из неподвижных элементов
группы {{/'}, т. е. heH тогда и только тогда, когда U'h = h для всех /.
Ясно, что Н содержит одномерное подпространство констант. Легко видеть,
что система {Т'} эргодична тогда и только тогда, когда Н одномерно.
Перемешивание означает, что для любых /, g
lim ({/'/, g) = (f, l)(l,g).
I-*00
Функция heL2(M, М, p) называется собственной для {{/'}, если при всех t
U'h = c(t)h,
где |с(/)| = 1, с(/1 + /2) = с(/1)с(/2).
Определение 8. Динамическая система {Т'} называется слабо перемешивающей,
если {{/'} не имеет собственных функций, кроме констант.
Из слабого перемешивания вытекает эргодичность. Далее мы будем обсуждать
примеры эргодических динамических систем, не являющихся слабо
перемешивающими (динамические системы с чисто точечным спектром). Из
перемешивания вытекает слабое перемешивание. Действительно, если А -
собственная функция, то при /-юо
(U'h, А) = с(/)(А, АИА, 1)(1, А).
Если А не является константой, то А можно считать ортогональной
константе. Поэтому правая часть равна 0. Следовательно, с(/)->0, что
невозможно.
Предположим теперь, что teZ1 или R \ т. е. {U1} есть однопараметрическая
группа изометрических операторов. Тогда операторы U' обратимы, т. е. {/'
являются унитарными операторами. Для однопараметрических групп унитарных
25
операторов хорошо известна теорема, описывающая структуру таких групп с
точностью до унитарной эквивалентности. Приведем формулировку этой
теоремы.
Вначале мы опишем соответствующие модели группы {!/'}. Пусть teZ1. На
единичной окружности S1 рассмотрим последовательность ненормированных мер
ак, к=\, 2, ..., и меру <тш, причем все меры <тш, ак взаимно сингулярны
(в смысле абсолютной непрерывности). Тогда можно найти такие попарно
непересекающиеся подмножества Л*, Лщ, что am(S,1\Affl) = 0, ок (511 \Лк )
= 0. Иными словами, каждая мера ак сосредоточена на Л* и <тю
сосредоточена на Лщ. Введем гильбертовы пространства Нк, к= 1, 2, ...,
(Нш), где Нк состоит из функций /, обращающихся в нуль вне Лц(Лщ), со
значениями в С'(С(r)), причем
frfa^)(/(X),/(X))<a>,
где (•,•)-обычное скалярное произведение. Пусть
со
Предыдущая << 1 .. 3 4 5 6 7 8 < 9 > 10 11 12 13 14 15 .. 68 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed