Современные проблемы эргодической теории - Синай Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Наука, 1981.
[2] Walters P. An Introduction to Ergodic Theory.- Berlin: Springer-
Verlag, 1982.
[3] Mane R. Ergodic Theory and Differential Dynamics.- Berlin: Springer-
Verlag, 1987.
2° Следующие ссылки относятся к содержанию этой лекции.
[4] Bogoljubov N., Krylov N. La theorie generale de la mesure dans son
application a l'etude de systemes dynamiques de la mechanique non-
lineaire// Ann. Math.-1937.-V. 38.- P. 65-113.
[5] C. Kingman J. F. Subadditive Ergodic Theory//Ann. Prob.- 1973.- V.
1.-P. 889-909.
18
ЛЕКЦИЯ 2
ПРОСТРАНСТВА ЛЕБЕГА И ИЗМЕРИМЫЕ РАЗБИЕНИЯ. ЭРГОДИЧНОСТЬ И РАЗЛОЖЕНИЕ НА
ЭРГОДИЧЕСКИЕ КОМПОНЕНТЫ, ПЕРЕМЕШИВАНИЕ.
СПЕКТР ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ. ПЕРЕКЛАДЫВАНИЯ ОТРЕЗКОВ
Эргодическая теория, основанная на теории меры, становится более
содержательной, если на пространство с мерой наложить ряд общих
ограничений, которые заведомо выполнены во всех основных приложениях.
Пусть (М, М, р)- пространство с вероятностной мерой, не имеющей атомов,
т. е. точек положительной меры.
Определение 1. (М, М, р) называется пространством Лебега, если М
изоморфно mod 0 отрезку [0, 1 ] с обычной мерой Лебега I.
Изоморфизм mod 0 означает, что найдется подмножество М'сМ, p(Af')=l, и
подмножество С'с[0, 1], 1{С')= 1, между которыми можно установить
взаимно-однозначное и взаимно-измеримое сохраняющее меру соответствие.
Любое полное сепарабельное метрическое пространство с борелевской ст-
алгеброй измеримых подмножеств является пространством Лебега. Одним из
центральных понятий теории пространств Лебега является понятие измеримого
разбиения. Пусть ?- какое угодно разбиение пространства Лебега М, т. е.
представление М в виде объединения непересекающихся множеств С5,
называемых элементами разбиения Элемент разбиения, содержащий точку хеМ,
обозначается Q(jc). Через .Ж(?)<= .Ж обозначим ст-подалгебру подмножеств
А е .Ж, состоящих mod 0 из элементов разбиения Это означает, что для
любого Ае.Ж(Е,) найдется А'е.Ж, \i(A'AA) = 0, и А' есть объединение
некоторых Q (А-симметрическая разность). Через (М|^, .Ж (?), р) обозначим
пространство с вероятностной мерой, точками которого служат элементы
разбиения ст-алгеброй измеримых подмножеств служит .Ж(?), а р здесь
обозначает ограничение исходной меры р на ст-подалгебру .Ж (?).
Определение 2. Разбиение t, называется измеримым, если найдется М' а М,
р(М')= 1, состоящее из элементов разбиения и на каждом С^еМ' можно задать
меру р (¦ | Q), определенную на а-алгебре множеств вида А(]С$, А е.Ж, и
такую, что для любого Be.Ж
1) p(5|Q) есть измеримая функция относительно ст-подалгебры J( (^);
19
2) выполняется формула полной вероятности ц(2?)= J ц(Д|С4)ф(С4).
Мера ц (• | С$) называется условной мерой, определенной на элементе .
Для любой измеримой интегрируемой функции / имеет место формула полного
математического ожидания
|/(х)ф(х) = J ф(С5)|/(у)^ц(у|С5). м и|5 с5
Измеримые разбиения возникают во многих вопросах эргодической теории. Для
нас существенна связь, которая существует в пространствах Лебега между
измеримыми разбиениями и ст-подалгебрами ст-алгебры Л.
Теорема 1. Пусть (М, Л, ц)-пространство Лебега, Л^аЛ-некоторая а-
подалгебра. Тогда существует такое измеримое разбиение что Л1=Л(^). Это
разбиение единственно mod 0, т. е. если Л(^) = Л(^2), то = ?2 на
некотором подмножестве М' с М, ц (М') = 1.
В силу соответствия между ст-подалгебрами и измеримыми разбиениями все
операции над ст-подалгебрами можно определить как операции над измеримыми
разбиениями. В частности, пусть Л а = Л (t,a), txes/i,-произвольное
семейство ст-подалгебр. Обозначим Л (соответственно Ж) наименьшую
(соответственно наибольшую) ст-подалгебру, содержащую все Ла
(соответственно содержащуюся во всех Ла).
Определение 3. Произведением разбиений а ел/, называется такое разбиение
что Л = Л(Е,). Пересечением разбиений Е", а ел/, называется такое
разбиение что Л = Л(^).
Произведения и пересечения обозначаются соответственно
1= v ;и, |= л 1U.
<xes/ aes/
Геометрически операция произведения разбиений намного проще операции
пересечения. Если л/ конечно или счетно, то
Q(x)= П ОЛ4
a Gs/
Некоторый аналог этой формулы справедлив и для несчетных семейств {?"}.
Пересечение может быть сложной операцией уже в случае двух разбиений и
потребовать для своего геометрического построения даже трансфинитной
индукции.
20
Пусть Л = (cti, а2). Для получения Q (х) надо взять (х), через почти
каждую по отношению к условной мере! на Q точку у е провести (у), через
почти каждую точку z (по надлежащей мере) полученного множества провести
снова (z) и т. д. Нетрудно привести примеры, когда этот процесс
действительно требует бесконечного числа шагов. Мы будем писать Ь,^Ь,2
(modO), или просто 3*^2, если ^//(^1)3 ^//(^2 )• Геометрически это
означает, что почти каждый Q2 состоит mod 0 из элементов .
Вернемся к динамическим системам. Пусть {Т'} - однопараметрическая группа
или полугруппа сохраняющих меру преобразований пространства Лебега (М, Л,
