Современные проблемы эргодической теории - Синай Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
параллелограмма С, параллельных e(u)(e(s))> которое мы будет называть
неустойчивой (устойчивой) границей параллелограмма С. Если С-
параллелограмм, то ТС и Г1 С также параллелограммы.
Пусть имеется конечное разбиение ZI - {C1, С2, ..., Сг} тора М, элементы
которого-параллелограммы. Это означает, что
Г
(JCj = Af, Cif]CJ = dCif]dCj. Положим
>=i
*<">(?) = у Y(-)(Cj), Y(s)(ti)= Uy(s)(C).
(=i i=i
Определение 3. Разбиение Е, называется марковским, если
Ty<s>(?)c:y<'>(Z), T-'y^'C^ciy^'CZ,)-
Отметим, что Гу(5)(У (T~ly(u)(U) устойчивая граница разбиения Т\ = {ТСи
..., TCr}(T-l\ = {T-lCu Т1С2, ...
т-усг}).
Лемма 1. Если у-марковское разбиение такое, что все пересечения Сг[\ТС},
Cl[\T~1Cj связны, mo Е, есть образующее разбиение.
Доказательство. Если Е,-марковское разбиение, то Ci(\TCj есть объединение
нескольких параллелограммов, устойчивые границы которых принадлежат
Y(S)(C,)- Если
Рис. 3.1
указанное пересечение состоит только из одного параллелограмма, то его
устойчивая граница в |Д.2| Раз короче, чем у Cj, а неустойчивая граница
С, П ТС j имеет тот же размер, что и у С; (см. рис. 3.1). Точно так же
пересечение С1оС\ТСн(]...С\Т"С1щ связно и является параллелограммом,
36
устойчивая граница которого имеет длину, не превышающую const -1Х2 Г, а
неустойчивая-ту же, что и у С,. Если мы рассмотрим пересечения
Ciof]T~1Ci_lf]..[]T~n'Ci_m, то все они связны и являются
параллелограммами, причем их устойчивые границы имеют длины, не
превосходящие const-|X,i | "= const -1Х-21"1. Следовательно, любое
пересечение
Л
П TkCh есть параллелограмм, диаметр которого не превос-
-п
оо
ходит const • | Х2 Г> и поэтому бесконечное пересечение f) TkCit
- оо
не может содержать более одной точки. Из критерия Рохлина (см. выше 2)
вытекает, что Е, есть образующее разбиение, что и требовалось доказать.
Рассмотрим марковское образующее разбиение Оно определяет меру ц' в
пространстве О последовательностей g>={o*}-oo, гДе каждое to* принимает г
значений 1, 2, ..., г и
\if{to|Ofcj = i*i, (c)*2 = *2, (c)*,=*;} = ц{х| Г^xeQ,
Как всегда, мера ц' инвариантна относительно сдвига S в О.
Лемма 2. Если Е,-марковское разбиение, то ц'-марковская мера.
Доказательство. Ограничимся случаем, когда Е,-образующее разбиение. В
общем случае рассуждения аналогичны. Мы должны показать, что
ц {ТС, IQ П т-1 С,., п... П Т-"С,..} = ц {TCj I сг}.
Обозначим через /<5,(С) длину стороны неустойчивой границы
параллелограмма С. Тогда из предыдущего \i.{TCj\ Ci} =
/<*)(7'Cj)//<s)(Ci)"=| Х.21 /<s)(Cj)/1is)(Сi). Имеет место также
равенство
ц{ГС;|С,ПГ-1С,.1П...П7'-"С(..} =
_n{rcJnc,nr-1ci_1n...nT-"ci..} и^пг-^.п-пт-с,.,} '
Из определения марковского разбиения вытекает, что
CiC\T~1Ci_1C\...f)T~nCi_i' есть параллелограмм, у которого устойчивая
граница имеет ту же длину, что и у С,-. Но это означает, как и выше, что
правая часть последнего соотношения равна
I" (TCj n CiO Т-1си, П - П Т-с,..) _ | х21 /<*> (с,) /<1)(с(пт'1с,.1П-
ПТ'"С,.11) /"(с,) '
что и требовалось доказать.
37
Для того чтобы закончить доказательство теоремы, остается построить
марковское разбиение удовлетворяющее условиям леммы 1. Предположим, что
?о = {СЛ0), ... ..., С?0)}-произвольное марковское разбиение. Обозначим
через Е, новое разбиение, элементы которого являются связными
компонентами пересечений Cj0|f) ТС]0). Оно является марковским
разбиением, поскольку
Ywfe) = Yw(So), Y(",(y = Y(u,(^).
Легко видеть, что Е, удовлетворяет условиям леммы 1. Таким образом,
достаточно построить произвольное марковское разбиение.
Мы построим марковское разбиение ?, состоящее из двух элементов Си С2,
причем у(и)(?) (y(s) (4)) будет отрезком,
содержащим точку О, направленным вдоль e(")(e(s)). Последовательность
шагов построения этого разбиения Е, представлена на рис. 3.2.
ССЫЛКИ И КОММЕНТАРИИ
1 ° Изложенные в этой лекции примеры изоморфизма см. в статьях
[1] М ешалкин Л. Д. Один случай изоморфизма схем Бернулли//ДАН СССР,-
1959,-Т. 128, № 1,-С. 41-44.
[2] Adler R. L., Weiss В. Entropy be a complete metric invariant for
automorphisms of the torus (/ Proc. Nat. Acad. Sri., USA.- 1967,-V. 57, №
6,-P. 1573-1576.
2° Разбиения, построенные при доказательстве теоремы 3, являются частным
случаем общих марковских разбиений. Об этом более подробно говорится в
части V.
38
ЛЕКЦИЯ 4
ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ С ЧИСТО ТОЧЕЧНЫМ
СПЕКТРОМ
В этой и следующих лекциях мы будем рассматривать интересный класс
динамических систем, который появляется также в многочисленных
приложениях эргодической теории.
Определение 1. Пусть Т-автоморфизм пространства с мерой (М, р). Тогда Т
называется автоморфизмом с чисто точечным спектром, если сопряженный
оператор Ut имеет полную систему ортонормированных собственных функций,
т. е. если существуют ортогональный нормированный базис {/* (х)}
пространства Ь2(М, р) и такая последовательность чисел \keSl, что
В качестве простейшего примера возьмем M=S1, где S1-окружность, р будет
мерой Лебега, и 7x = x + a(mod 1). Тогда f(x) = e2mkx-собственные
