Современные проблемы эргодической теории - Синай Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Сейчас, после доказательства того, что ф*ц' = ц", мы получаем, что ср
отображает М' на A/''(mod 0) и с вероятностью 1 обратимо. Это и завершает
доказательство изоморфизма.
Прежде чем перейти к рассмотрению следующего примера, введем два важных
определения. Ниже через е обозначается разбиение фазового пространства М
на отдельные точки.
Определение 2. Пусть Т -эндоморфизм пространства (М, Л, ц). Счетное
разбиение i0{Cl, С2, ..., Сг, ...} называется образующим разбиением для
эндоморфизма Т, если
2 Я. Г. Синай
Vn = c (modO).
п > О
33
Определение 2'. Пусть Т-автоморфизм пространства (М, М, ц). Счетное
разбиение ^{С1, С2, СТ, ...} называется образующим разбиением
автоморфизма Т, если
V Т~п%=г (modO).
-00 <П < 00
Эквивалентное определение образующего разбиения может быть дано в
терминах ст-алгебр: наименьшая ст-алгебра, содержащая множества Т~п С;, л
3* 0, г 3* 1, в случае эндоморфизмов и Г""С" - оо < л < оо, i^l, в случае
автоморфизмов, совпадает с ст-алгеброй всех измеримых множеств. В такой
форме определение образующего разбиения может быть естественно перенесено
и на несчетные разбиения. Для выяснения того, является ли данное счетное
разбиение образующим, полезен следующий критерий Рохлина (см. ссылку [4]
предыдущей лекции)*1: разбиение ?, является образующим, если существует
подмножество Af'cAf, ц(ЛГ) = 1, такое, что для любых х, у еМ' можно найти
i, п, при которых Г'хеС;, ТпуфС;. Здесь п должно быть неотрицательным в
случае эндоморфизмов и может быть произвольным целым числом в случае
автоморфизмов.
Вот нетривиальный пример образующего разбиения в примере Мешалкина:
рассмотрим множества
Сг = {<о'|<Оо = ф(ю')о = г'}> 1^/г?4.
Тогда, как легко следует из конструкции, разбиение t, = {C1, С2, С3, С4}
является образующим.
Понятие образующего разбиения интересно и с точки зрения теории
вероятностей. Ограничимся случаем автоморфизмов.
Рассмотрим пространство ?2 последовательностей (0={(0Я}, - оо < п < оо,
где каждое (<оя} есть реализация стационарного случайного процесса со
счетным числом состояний. Введем в ?2 вероятностную меру Р, положив
Р{ю|юЯ1 = "1, <o"2 = i2, ..., <o", = jr} =
= ц{х|7'я,хеС/1, Г"2хеС,2, ..., Т"'хеС,г}.
Инвариантность ц влечет инвариантность меры Р относительно сдвига, т. е.
Р действительно отвечает стационарному случайному процессу. Мы можем
сказать также, что если преобразование Т имеет счетное образующее
разбиение, то оно изоморфно стационарному случайному процессу со
** См. также лекцию 1.
34
счетным множеством состояний. Этот изоморфизм часто оказывается полезным,
когда мы исследуем более детально свойства перемешивания, пытаемся
доказывать центральную предельную теорему и т. п.
Обсудим понятие метрического изоморфизма в терминах случайных процессов.
Предположим, что (Г2', Р') есть вероятностное пространство
последовательностей со' = {со*} и сдвиг S', (S'co')t = toi+1, сохраняет
Р'. Если (П", Р") - другое аналогичное пространство и сдвиг S" действует
в ?1", то метрический изоморфизм S' и S" влечет существование ф,
отображающего Г2' на П" и коммутирующего со сдвигом. Отображение ф
определяет функцию ф(со') со значениями в {1, 2, 3, ...}, для которой to*
= ф(Ткto'), - со <к < со. Иными словами, ф(со') есть значение со о,
которое с помощью сдвига дает возможность целиком восстановить
последовательность to". Переход со'н->ф (ш') = т" может рассматриваться
как некоторое кодирование. Коды, которые задаются одной функцией ф(со'),
называются стационарными кодами.
Таким образом, задача установления метрического изоморфизма оказывается
во многих случаях задачей построения стационарных кодов. Эта точка зрения
полезна в энтропийной теории динамических систем (см. часть II).
Сейчас будет рассмотрен еще один пример метрического изоморфизма.
Пример 2. Предположим, что М-двумерный тор с лебеговой мерой и Т-его
групповой автоморфизм, задаваемый
двумерной целочисленной матрицей /1 = | |, det А= ±1.
\с d)
Как было показано в лекции 2, Т эргодичен тогда и только тогда, когда А
не имеет собственных значений, по модулю равных 1. Последнее условие
выполнено, если выполнено неравенство \\xA\ = \a+d\>2. При этом А имеет
собственный вектор е<и) с собственным значением Х1; |Xt | > 1 и
собственный вектор e(s) с собственным значением Х2, |Х2|<1.
Полутраектории точек х, у, для которых отрезок у -х параллелен
e<u>(e<s>), сближаются экспоненциально при п -*¦ - оо (п -*¦ оо).
Теорема 3. Т метрически изоморфен сдвигу Маркова (см. [2]).
Доказательство. Обозначим через М0 двумерную плоскость, которая является
универсальной накрывающей М. Назовем "параллелограммом" обычный
параллелограмм СсМ0, стороны которого параллельны е(и) и еи)
соответственно, причем каноническое отображение М0~*М взаимно-
2*
35
однозначно на С. Другими словами, С может рассматриваться как
подмножество тора, которое одновременно является параллелограммом в
обычном смысле. Пусть у(я)(С) (у(,)(С)) есть объединение сторон
