Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Синай Я.Г. -> "Современные проблемы эргодической теории" -> 2

Современные проблемы эргодической теории - Синай Я.Г.

Синай Я.Г. Современные проблемы эргодической теории — М.: ФИЗМАТЛИТ, 1955. — 201 c.
Скачать (прямая ссылка): sovremennieproblemietnografii1995.pdf
Предыдущая << 1 < 2 > 3 4 5 6 7 8 .. 68 >> Следующая

динамических систем чрезвычайно популярна сейчас и тесно связана с
голоморфной динамикой. Впрочем, этой связи мы здесь не касаемся. Одна
лекция посвящена доказательству теоремы Эрмана, найденному К. М. Ханиным
и мною и основанному на идеях метода ренормгруппы. Следующая лекция
содержит доказательство теоремы Шарков-ского и обсуждение теории
универсальности Фейгенбаума. Последняя лекция посвящена теории
растягивающих отображений. Доказательство основной теоремы проводится в
духе термодинамического формализма, о котором подробнее идет речь в части
V.
Часть IV называется "Элементы двумерной динамики". Здесь мы рассматриваем
некоторые свойства стандартного
5
отображения или отображения Чирикова, обсуждаем идеи теории Обри-Мезера.
Кроме того, вводятся гомоклинические и гетероклинические точки,
стохастические слои и объясняются причины, по которым они называются
стохастическими.
Лекция 14 содержит доказательство теоремы, дающей оценку сверху угла,
характеризующего расщепление сепаратрис. Это доказательство принадлежит
И. П. Корнфельду и мне и прежде не публиковалось. Необходимо отметить,
что получаемая оценка не является наилучшей.
В части V рассматривается теория гиперболических динамических систем. В
целом ряде вопросов наш подход можно считать новым. В некоторых случаях
мы объясняем основные идеи или проводим доказательства для наиболее
характерных примеров.
Редактор книги Е. И. Динабург внимательно прочитал рукопись и сделал
много полезных замечаний. Ряд изменений в рукописи был внесен в
результате обсуждений с К. М. Ханиным и Д. Косыгиным. Пользуюсь случаем
поблагодарить их за помощь.
ЧАСТЬ I
ОБЩАЯ ЭРГОДИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
В этой части вводятся основные понятия эргодической теории и описываются
различные примеры. Сюда также включены элементы спектральной теории
динамических систем, включая теорию динамических систем с чисто точечным
спектром.
ЛЕКЦИЯ 1
ИЗМЕРИМЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ, ИНВАРИАНТНЫЕ
МЕРЫ, ЭРГОДИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ
Эргодическая теория изучает статистические свойства детерминированных
динамических систем. Под статистическими свойствами понимаются свойства,
выражающиеся через поведение средних по времени от различных функций,
вычисляемых вдоль траекторий динамических систем. Слова
"детерминированные динамические системы" подразумевают, что в уравнения,
задающие закон движения, не входят никакие случайные возмущения, шумы и
т. п. Тем. самым возникающая статистика определяется исключительно
свойствами динамики.
Поскольку эргодическая теория, как и теория вероятностей, основана на
понятии меры, то первоначальные ее понятия вводятся в терминах общей
теории меры.
Мы предполагаем, что задано измеримое пространство, т. е. пара (М, Л),
где М-абстрактное множество, а Л- ст-алгебра его подмножеств. В
дальнейшем М будет фазовым пространством динамической системы. Выбор ст-
алгебры во всех последующих ситуациях не вызывает затруднений, и мы будем
часто опускать ее обозначение.
Определение 1. Эндоморфизмом измеримого пространства (М, Л) называется
отображение Т пространства М на себя такое, что Т_1СеЛ для любого СеЛ.
Определение 2. Автоморфизмом измеримого пространства (М, Л) называется
такое обратимое отображение Т, что Т и Г-1 - эндоморфизмы (М, Л).
Если Т-автоморфизм, то ТС, Т~1СеЛ для любого Се Л. За определениями 1, 2
молчаливо скрывается пред-
7
положение о том, что действие Т задается измеримыми функциями, и никакие
дополнительные предположения типа гладкости не накладываются.
В этой книге мы, как правило, будем рассматривать только нормированные,
т. е. вероятностные, меры на (М, Л), не оговаривая этого особо.
Определение 3. Мера ц называется инвариантной мерой эндоморфизма Т, если
ц(С) = ц(Г_1С) для любого СеЛ.
Если Т-автоморфизм, то, обозначив С' = Т~1С, имеем ц(ГС') = ц(С'). В
случае автоморфизмов множества С' пробегают всю ст-алгебру Л, когда
множества С пробегают всю ст-алгебру Л. Таким образом, в случае
автоморфизмов инвариантность меры означает, что ц(С) = ц(ГС)=ц(Г_1С) для
любого СеЛ.
Лемма 1. Для произвольного эндоморфизма Т и инвариантной меры ц
Утверждение леммы для индикаторов множеств эквивалентно инвариантности
меры. Для конечных линейных комбинаций индикаторов утверждение следует из
линейности интеграла. Общий случай получается предельным переходом.
Приведем сразу же пример, наглядно иллюстрирующий, почему в определении
инвариантности ц следует брать Г-1, а не Т. Кроме того, этот пример будет
неоднократно встречаться в дальнейшем.
Пример 1. Пусть М= [0, 1], хеМ, Тх = { 1/х}, где {•} - обозначение
дробной части. Преобразование Т есть эндоморфизм, поскольку для всех
точек х*=-1-, к= 1, 2,..., их образ
к+х
Тхк = х. Будем искать инвариантную меру ц в виде d\i (х)= р(х) dx. Тогда
из определения инвариантной меры для плотности р(х) мы получаем следующее
уравнение:
где |dx*|-длина бесконечно малого интервала, переходящего под действием Т
в dx. Легко видеть, что \dx\ = xk2\dxk\. Поэтому
Предыдущая << 1 < 2 > 3 4 5 6 7 8 .. 68 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed