Современные проблемы эргодической теории - Синай Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
означает, что для любого набора множеств Си С2, Ст выполнено равенство
й (С.-, "") ~ М-(С*1 +1 +1 )¦
Отдельная координата х, есть, очевидно, измеримая функция на (М, Л) и по
терминологии теории вероятностей представляет собой случайную величину.
Инвариантность меры ц относительно сдвига означает, что совместное
распределение случайных величин Х;1+г, Х;2+г, ..., х,- +г не зависит от
г. Последовательности случайных величин {х;} с таким свойством называются
в теории вероятностей стационарными случайными последовательностями.
Пусть Т-произвольный автоморфизм пространства с мерой (М0, Л0, Цо)-
Возьмем конечное разбиение а = (С\, Сг) пространства М0 и образуем
конечное измеримое пространство Х=(\, 2, ..., г) из г чисел. Для любого
уеМ0 имеем бесконечную последовательность включений ТпуеС^,
13
- оо <п< оо. Тогда точка у порождает бесконечную последовательность х =
{г"}, являющуюся точкой пространства последовательностей М. При этом
точке Ту сопоставляется сдвинутая последовательность 5х. Иными словами,
если обозначить через фа отображение М0->М, где Ф*(у) = х, то фа7'=5фа.
Положим для любого цилиндра Cii
ii_) = Ho{y|^ilyeC'ii,..., Т^~уеС,п}.
Эта формула задает меру ц в пространстве М. Перестановочность фа со
сдвигом S означает, что мера ц задает стационарную случайную
последовательность. Таким образом, всякому преобразованию с инвариантной
мерой отвечают стационарные случайные последовательности, получающиеся
при различных а. Разумеется, в предыдущих построениях можно было бы
рассматривать счетные и непрерывные разбиения а.
Описанная выше конструкция важна с разных точек зрения. Переход к
разбиению а означает, что мы задаем положение точки в фазовом
пространстве не точно, а лишь приближенно, с точностью, определяемой
разбиением а. Тогда случайность, заложенная в выборе начальной точки у и
измеряемая инвариантной мерой ц, переходит в случайность закодированной
последовательности х. Тем самым чисто детерминированная динамика может
порождать чисто случайные процессы. В дальнейшем это будет видно более
непосредственно на целом ряде конкретных примеров. По существу, одна из
основных задач эргодической теории может быть сформулирована как задача
описания и исследования случайных последовательностей, возникающих при
разном выборе а.
Пусть (М, Л)-пространство бесконечных последовательностей х = {х;}, где
xteX, - оо</<оо, и X-есть измеримое пространство, S-преобразование сдвига
в М.
Определение 7. Сдвиг S называется сдвигом Бернулли или автоморфизмом
Бернулли, если мера ц есть прямое произведение бесконечного числа мер,
совпадающих с фиксированной мерой v на X. Иными словами, для любого
цилиндра Ch.--L его меРа й(С;1 i")=v(C1)...v(Cm).
Определение 8. Сдвиг Т называется автоморфизмом Маркова, если мера ц в М
есть стационарная мера Маркова с фазовым пространством X.
Поскольку в дальнейшем мы, как правило, будем предполагать инвариантную
меру известной, остановимся кратко на проблеме ее существования. Пусть М-
компактное полное метрическое пространство и Т-непрерывное отображение М
в себя. Для произвольной начальной меры v0 построим меры v", где vn(C) =
v0(7"nC), и их средние арифметические
14
мп = - у v*. Поскольку пространство вероятностных мер на
и
М слабо компактно, то из последовательности ц" можно извлечь слабо
сходящуюся подпоследовательность ц".=>ц. Покажем, что ц-инвариантная мера
для Т. Достаточно установить, что для любой непрерывной функции /
Здесь мы воспользовались тем, что J/(7x)<M(x) = J/(x)Jv*+1(x). Это
равенство для индикаторов вытекает из определения мер v* и с помощью
линейности меры и непрерывности продолжается на все непрерывные функции.
Метод, который только что был продемонстрирован, появился впервые в
работе Боголюбова- Крылова [4]. Он часто используется в теории цепей
Маркова, статистической механике и др.
Как мы видим, в гамильтоновых системах существование инвариантной меры
часто вытекает из теоремы Лиувилля.
(см. (3)), вообще говоря, может не быть инвариантной меры, задаваемой
плотностью по мере Лебега, поскольку div/ характеризует уменьшение меры
Лебега любого множества под действием динамики. В таких системах иногда
бывает так, что сама динамика "вырабатывает" естественную инвариантную
меру. Предположим, что для потока {Т'}, определяемого системой (3),
имеется компактная область О с гладкой границей 80 и на 80 векторное поле
/=(/ь •••, /") направлено внутрь О. Тогда Т'0<=0 при всех t>0. Образуем
пересечение A = f]T'0. Часто такое пересечение называется аттрактором.
Пусть dv0 (х) = ро (х) dx-произвольная абсолютно непрерывная мера,
сосредоточенная в О. Тогда мера v" где v,(C) = = v0(7'~'C), сосредоточена
в области Т'0. Если существует слабый предел ц мер v, при t-* оо, то этот
предел будет
15
J/(x) ф (х) = J/(7x) ф (х).
(5)
Имеем
'I
инвариантной мерой, поскольку для любой непрерывной функции /,
сосредоточенной в О,
|/(Tsx)<ip(x) = lim $f(rx)dv,(x) =
= Urn J/(x) dv,+s(x) = [/(x) d\i (x).
