Современные проблемы эргодической теории - Синай Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
j/(x) d\i (х) = j/{Tx)d\i (х).
(1)
Проверим, что функция р(х)=------------------удовлетворяет послед-
1п2 '(I + х)
нему уравнению. Множитель - введен для нормировки, и мы
In 2
его отбросим. Имеем
00
00
(& + х)-2= ?
(Аг+1+х)(А: + х)
к+х
к
и
к+х k+1+x
1+х
В честь Гаусса, впервые рассмотревшего преобразование Т и определившего
указанную формулу для инвариантной меры р, преобразование Т носит
название эндоморфизма Гаусса. Это преобразование тесно связано с теорией
цепных дробей (см. лекцию 9). Доказательство единственности решения (1)
гораздо менее тривиально (см. далее).
Пример 2. Пусть, как и выше, М= [0, 1] и Гх = {/(х)}, где /-функция
класса С1 такая, что для каждого хе [0, 1] число точек у, для которых
{f(y)}=x, конечно. Будем по-прежнему искать плотность инвариантной меры в
виде d\i (х) = р(х) dx. Тогда для р получаем уравнение
Это уравнение называется уравнением Перрона-Фробениуса - Рюэлля. Вопрос о
существовании его решений далеко не прост. Иногда это объясняется тем,
что искомые решения имеют сложные особенности, связанные с разрывами /
или нулями /'.
Перенесем определения 1 и 2 на случай непрерывного времени.
Пусть R+-полугруппа неотрицательных чисел и для каждого feR+ задан
эндоморфизм Т' измеримого пространства (М, причем j"ts=t,+s для любых t,
s>0.
Определение 4. Полугруппа {Г'} называется измеримым полупотоком, если для
любой измеримой функции / функция f(T'x) измерима на прямом произведении
измеримых пространств (М, М} х (R +, Ш +).
Пусть R-группа всех действительных чисел t, - co<t<co, и для каждого t
задан автоморфизм Т', причем
Определение 5. Группа {Т'} называется измеримым потоком, если для любой
измеримой функции / функция f(T'x) измерима на прямом произведении
измеримых пространств (М, М) х (R, т).
O')
Мера р инвариантна относительно полупотока (потока), если она инвариантна
относительно любого эндоморфизма (автоморфизма), входящего в полупоток
(поток).
Можно показать, что в случае измеримых потоков на сепарабельных
пространствах с мерой интеграл |f(T'x) /(x)dp(x) есть непрерывная функция
t. Далее под динамической системой мы будем понимать эндоморфизм,
автоморфизм, измеримый полупоток или измеримый поток, сохраняющие меру. В
дальнейшем эпитет "измеримый" будет опускаться. Автоморфизмом
пространства с мерой (М, Ж, ц) называется автоморфизм измеримого
пространства (М, Ж), для которого мера ц инвариантна. Мы будем также
говорить, что Т сохраняет меру ц. Аналогичная терминология применяется к
эндоморфизмам, полупотокам и потокам. Приведем сейчас несколько основных
примеров динамических систем, к которым мы будем неоднократно обращаться.
1. Групповые сдвиги. Пусть М-компактная топологическая группа, на которой
имеется вероятностная мера ц, инвариантная относительно левых сдвигов.
Тогда преобразование Tgx=gx для любого geM есть автоморфизм пространства
(М, Ж, ц). Если {g,} - однопараметрическая подгруппа {- оо < ? < со}, то
T,x=g,x-поток на пространстве (М, Ж, ц). Для нас особенно важны случаи,
когда М есть d-мерный тор, М=Tord. Пусть его точки записаны в виде х =
(хь х2, ..., xd) и каждое X; принимает значение из полуинтервала [0, 1).
Если g = (cob ..., tod)eM, то мы получаем сдвиг на торе Гвх = (х1+со1, х2
+ со2, ..., Xj + aij), где запись xd+cod понимается здесь и далее как
сложение на группе, т. е. Xj + cOi (modi). Аналогично, Т'х = (х1 -Исоь х2
+ ?со2,... ..., Xrf-Hco,)) есть поток, называемый условно-периодическим
потоком на торе. В приложениях хь ..., xd часто отвечают циклическим
переменным типа "фаза". Если циклическая подгруппа g", - оо<л<оо, состоит
из попарно различных элементов, то Тв не имеет периодических траекторий.
2. Косые сдвиги на группах. Пусть М=Tord. Косым сдвигом на М называется
преобразование Т следующего вида:
Г(хь ..., xd) = (x1+(B1, X2+fi (Xi),
x3+/2(xi, x2), ..., xd+/d-i(х2, ..., Xd_j)),
которое, очевидно, сохраняет меру Хаара ц. Такие преобразования
встречаются в приложениях эргодической теории к теории чисел.
3. Групповые автоморфизмы и эндоморфизмы. Пусть М=Tord, Т-групповой
автоморфизм, т. е. взаимнооднозначное непрерывное отображение группы Tord
на себя, переводящее сумму в сумму, Т{х+у)=Тх+Ту. Можно показать, что
10
Т задается целочисленной матрицей, Т = || а.ц ||, atj-целые и detТ= + \,
и действует по формуле (7x); = ?a;jXj (mod 1). В силу равенства det Г= ±
1 автоморфизм Т сохраняет меру Хаара d\i = dx1dx2 ¦ ¦¦ dxd. Если |det Т\>
1, то Т задает групповой эндоморфизм М на себя. Значение | det Т | равно
числу прообразов любой точки. В этом случае Т будет эндоморфизмом
пространства с мерой (М, М, р).
Уже сейчас можно увидеть разницу между групповыми автоморфизмами и
групповыми сдвигами. Возьмем на торе Tord конечную подгруппу G точек вида
x = (pjq, p2jq, ...
Pdlq), где pj-целые числа. Тогда TxeG для любого xeG, т. е. G-
инвариантная конечная подгруппа. Всякая такая подгруппа состоит из
периодических траекторий. Тем самым мы видим, что автоморфизм тора имеет
