Современные проблемы эргодической теории - Синай Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
векторов Unh, - оо<и<оо.
Лемма 2. Пусть существует конечное множество
к
векторов А(1), ..., А<*) таких, что ? Я(А(1,) = Я. Тогда для
i = i
любого zeS1 размерность подпространства собственных векторов, имеющих
собственное значение z, не превосходит к.
Вернемся к перекладываниям. Рассмотрим вначале U ~1 Хд. = %т\:¦ Заметим
теперь, что все /д. птд. представимы как линейные комбинации %Ао и
U~1Xaj- В самом деле, пусть последний Аг содержит несколько интервалов
TAit, ..., TAik_i и
TAh и... U Т\_, с Дг с Т\ U - U , и Т\.
28
Тогда АГ[)ТА^=ТА^, l^s^k- 1, и
к-1
Х^-ПГд = Хлр - X Хта, -
* S " 1 '
Если TAikc Ar(J Ar_i, то Хд,_,пгд^ = Хгд1|1-ХдгП7'\ и т.д. Рассуждая
таким же образом и дальше, получим, что Хд,П ТА} представима как линейная
комбинация функций Хл,> Хта > и Хд; п г1г'д; представима как линейная
комбинация функции Хд,0> Хтл,у XT*Aip- Но функции Хд^п ¦ ПтЧр в СИЛУ
транзитивности перекладывания Т порождают все L2([0, 1]).
Из леммы вытекает, что кратность каждого собственного значения оператора
U не превосходит г. Допустим теперь, что можно построить к попарно
непересекающихся инвариантных modO множеств положительной меры А1у ...,
Ак. Тогда их индикаторы являются ортогональными собственными функциями с
собственным значением z= 1. Поэтому к^г. Это утверждение эквивалентно
утверждению теоремы.
Следствие. Число различных эргодических мер перекладывания Т не
превосходит г.
Действительно, если бы можно было найти р различных эргодических мер
\ily...,\ipy p^r+l, то в силу попарной сингулярности этих мер (см. выше)
можно было бы найти р непересекающихся подмножеств С1у ..., Ср, для
которых
1 р
Hi(Ci)=l> Ui(7'CiACi) = 0. Тогда ц = - У имела бы р инвари-
Р i=i
антных mod 0 подмножеств положительной меры, что противоречит доказанной
теореме.
Недавно, используя более глубокие методы, Вич [5] доказал, что число
инвариантных мер транзитивного перекладывания не превосходит г/2. Каток
(см. [1]) установил, что Т никогда не обладает перемешиванием. С помощью
весьма глубоких методов Вич [6] и Мазур [7] показали, что для почти всех
в смысле меры Лебега векторов / полной меры и неприводимых перестановок к
перекладывания Т строго эргодичны. Упрощенное доказательство этого
результата было получено Бошерницаном [8].
Перекладывания отрезков возникают во многих задачах эргодической теории.
Любое преобразование отрезка [0, 1 ], сохраняющее меру Лебега, можно
аппроксимировать преобразованием типа перекладывания. Сейчас мы
рассмотрим более конкретную ситуацию, где появляются перекладывания
отрезков.
Пусть П - многоугольник на плоскости с рациональными mod л углами 01,
..., 0S. Не ограничивая общности, можно
29
Qi
считать, что все 0f имеют вид 0,=-л, где qt и р-целые числа.
Р
Рассмотрим бильярд в П, при котором каждая траектория представляет собой
ломаную, отражающуюся от границ П по закону "угол падения равен углу
отражения". Тогда углы
" к
различных отрезков ломаной имеют вид 0 + - л, при некото-
Г 1 1 ¦ р
ром 0 е 0, - л . Зафиксировав 0, мы получим инвариантное L Р А
множество бильярда. Эргодические свойства бильярда на этом множестве
сводятся к изучению эргодических свойств преобразования, действующего в
пространстве отрезков, направлен-
" к
ных под углами 0 + -л, и переводящего каждый отрезок Р
в следующий отрезок вдоль траектории. Это преобразование можно
реализовать как перекладывание отрезков. Интересные результаты,
относящиеся к этим преобразованиям, были получены в работе Керчхофа,
Мазура, Смайли [9] с помощью методов алгебраической геометрии.
ССЫЛКИ И КОММЕНТАРИИ
1° Основные понятия спектральной теории динамических систем можно найти в
книгах:
[1] Корнфельд И. П., Синай Я. Г., Фомин С. В. Эргоди-ческая теория.- М.:
Наука, 1981.
[2] Динамические системы-2 / Современные проблемы математики.
Фундаментальные направления.- М.: Изд-во ВИНИТИ, 1985.
Теория измеримых разбиений изложена в работах
[3] Neumann J. von. Zur Operatorenmethode in der Klassischen
Mechanik//Ann. Math.-1932,-V. 33.-P. 587-642.
[4 ] P о x л и н В. А. Об основных понятиях теории меры // Мат. сборник.-
1949.- Т. 67, № 1.- С. 107-150.
Аксиоматика и подход Рохлина являются общепринятыми.
2° Приведем ряд последних работ по перекладываниям отрезков.
[5] Veec h W. A. Interval Exchange Transformations//Ann. Math.- 1978.-V.
33.-P. 222-278.
[6] Veech W. A. Gauss Measures for Transformations of the Space of
Interval Exchange maps//Ann. Math.-1982.-V. 115, № 1.- P. 201-242.
[7 ] M a s u r H. Interval Exchange Transformations and Measured
Foliations//Ann. Math.-1982.- V. 115, № 1.- P. 169-200.
[8] Boshernitzan M. Preprint.
[9] KerchkoffS., Masur H., Smi 11 ie J. Ergodicity of Billiard Flows and
Quadratic Differentials// Ann. Math.- 1986.-V. 124.- P. 293-311.
3° Теорема 6 была доказана В. И. Оселедцом в работе
[10] Оселедец В. И. О спектре эргодических автоморфизмов// ДАН СССР.-
1966.-Т. 168, № 5.-С. 1009-1011.
30
ЛЕКЦИЯ 3
ИЗОМОРФИЗМ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ.
