Современные проблемы эргодической теории - Синай Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
ОБРАЗУЮЩИЕ РАЗБИЕНИЯ
Как уже было сказано ранее, в общей эргодической теории не делается
никаких предположений типа гладкости для функций, задающих действие
преобразований, входящих в динамическую систему. Формулируемое ниже
понятие изоморфизма дает принципиальную возможность сравнивать
динамические системы, заданные в пространствах разной размерности, с
разной топологией и т. п.
Предположим, что имеются два эндоморфизма Т' и Т", действующие в
пространствах с мерой (М', Л', ц') и (М", Л", ц") соответственно.
Определение 1. Эндоморфизмы Т' и Т" метрически изоморфны (короче,
изоморфны), если существует изоморфизм cp(modO) пространств (М', Л', ц')
и (М", Ji", ц"), определенный на инвариантном относительно Т'
подмножестве М1сМ' \х'-меры 1 и переводящий его в инвариантное
относительно действия Т" подмножество М" с М" У'-меры 1, такой, что
<р°Т'=Т" °<р.
Инвариантность М', М" означает М' = М',
(Т"У1 М" = М".
Если Т', Т'-автоморфизмы, то метрический изоморфизм Т', Т" означает, что
пары (Т', Т") и ((Г')-1, (Г")-1) метрически изоморфны при помощи одного и
того же изоморфизма ф.
Определение 1. Поток {S'i} на пространстве с мерой (М', Ji', ц')
метрически изоморфен (короче, изоморфен) потоку {S'2} на пространстве с
мерой (М", Ji", р."), если существует изоморфизм ф (modO) этих
пространств, заданный на инвариантном относительно потока {S^ }
подмножестве M'czM' \1'-меры 1 и переводящий его в инвариантное
относительно потока {S'2} подмножество М" cz М" У-меры 1, такой, что
ф5'! = 52ф, - оо</<оо.
Аналогичное определение может быть дано в случае полупотоков. Все
характеристики, свойства и т. п. динамических систем, одинаковые для
изоморфных динамических систем, называются их метрическими инвариантами.
Теорема 1. Следующие свойства динамических систем являются метрическими
инвариантами:
1) эргодичность;
31
2) слабое перемешивание',
3) перемешивание.
Если динамические системы изоморфны, то индуцируемые ими полугруппы
(группы) изометрических (унитарных) операторов унитарно эквивалентны.
Таким образом, спектр динамической системы есть также метрический
инвариант.
Рассмотрим теперь два нетривиальных примера метрического изоморфизма
автоморфизмов.
Пример 1 (пример Мешалкина; см. [1]). Пусть М' есть пространство
бесконечных в обе стороны последовательностей со' = {оо*}, со{еА" = {1,
2, 3, 4, 5}, ц'-мера Бернулли, отвечающая распределению л'= {1/8, 1/8,
1/8, 1/8, 1/2}, Т' - соответствующий сдвиг Бернулли. В качестве М"
возьмем пространство бесконечных в обе стороны последовательностей (о" =
{со?}, со!/ еЗГ" = {1, 2, 3, 4}, ц"-мера Бернулли, отвечающая
распределению л" = {1/4, 1/4, 1/4, 1/4}, Т"-соответствующий сдвиг
Бернулли.
Теорема 2. Сдвиги Бернулли Т' и Т" метрически изоморфны.
Доказательство. Построим явно соответствующий изоморфизм. Пусть дана
типичная последовательность со' еМ'. Введем подмножества /} = /}(со') с
Z1, 1<г<5, такие, что (со' )={A:eZ1 |ш^ = г}. Наша цель - построить
последовательность со" = ф (со'). Прежде всего положим (о?=1 для
kel\\jr2, о)* = 2 для kel'3(jl'4. Для каждого kel's мы найдем такой номер
к1=к1(а>')> к, что:
at) число номеров i, к для которых col-=5, равно
числу номеров i, для которых со" ф 5;
а2) к1-первый из номеров, удовлетворяющих at).
Из теории одномерных случайных блужданий легко следует, что почти все со'
таковы, что для каждого кеГ3 (со') можно
найти соответствующее ку и для каждого ку е (J //(со')
1 "г<4
можно найти соответствующее к. Иными словами, соответствие коку взаимно-
однозначно.
Положим теперь со{' = 3, если (0^ = 1 или 3, и со/ = 4, если (0^ = 2 или
4. Итак, для типичной последовательности со' мы определили весь набор
значений со*, оо < к < оо и, таким образом, построили целиком
последовательность со".
Положим со" = ф((о'). По построению ф7', = 7'"ф. Мы должны показать, что
ф переводит меру ц' в меру ц". Это нетрудно сделать, используя
энтропийную теорию динамических систем (см. лекцию 6). Здесь мы приведем
прямое доказательство этого факта.
32
Фиксируем произвольную последовательность coj', со!' + ь -, й>;' и введем
в рассмотрение следующее подмножество В с М'\
.8={сй'|"ср(сй'), = <В;', 1^1 ^12}.
Мы покажем, что ц(/?) = 1/4''2_', + 1. Обозначим
</</2|й1=г}, 1<г<4.
Тогда 0)1 = 1 или 2 для lef'l, со"i = 3 или 4 для /е / 2, со'^5 для /е/'з
(J/?. Для каждого /е/3 {J/'4 возьмем соответствующее значение /' = /'(/),
рассмотренное выше.
Если #({/'(/)})- множество последовательностей со'сД для которых {/'(0}
принимает фиксированные значения, то
p'(S)= X |со? = 1 или 2 для 1еГ[;
я({/'(/)})
coj = 3 или 4 для /е/2; coJ = 5 для lel'ilJIZ;
со I = 1 или 3 для /'(/), соответствующего /е/'з, coJ = 2 или 4 для
/'(/), соответствующего /е/4}) х
хц(*({/'(/)}))=^ ^
Последняя дробь ^Гйп есть Условная вероятность соответствующих значений
которая не зависит от условий,
приводящих к заданным значениям со,''. Полученное произведение равно
^ггт7, что и дает требуемый результат.
