Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
чтобы однонуклонное состояние с импульсом р имело энергию ]/р24-М2, а
одномезонное ]/р2-|-р2. Эти контрчлены взаимно уничтожаются с собственно-
энергетическими членами, возникающими в процессе вычислений. Отметим
снова, что при такой процедуре параметры Мир. вводятся в теорию
феноменологически.
Приступим теперь к подробному анализу гамильтониана взаимодействия G:
фГфф: в картине Шредингера. Рассмотрим сначала его спи-норную часть : ф
(х) Г ф (х):. Если подставить в это выражение разложения ф (х) и ф (х) на
операторы рождения и уничтожения, то возникают четыре типа членов:
1) bp-bp, соответствующий уничтожению нуклона с импульсом р с
последующим рождением нуклона с импульсом р', т. е. соответствующий
рассеянию нуклона;
§ 1. Вводные замечания общего характера
407
2) dp dP', соответствующий рассеянию антинуклона;
3) bpdp', соответствующий аннигиляции нуклона и антинуклона, т. е.
уничтожению парьц
4) bpdp-, соответствующий рождению пары.
Далее, разложение оператора мезонного поля на операторы рождения и
уничтожения записывается в виде *1*
1 С d3k
= 1(13'42)
Следовательно, гамильтониан взаимодействия //j приводит к восьми
элементарным процессам, которые соответствуют
1) испусканию бозона, сопровождаемому
а) рассеянием нуклона,
б) рассеянием антинуклона,
в) аннигиляцией пары,
г) рождением пары;
2) поглощению бозона, сопровождаемому перечисленными выше процессами.
Эти элементарные процессы могут быть графически изображены хронологически
упорядоченными диаграммами Фейнмана. Обозначим бозон прерывистой линией,
нуклон — линией, направленной вперед во времени, а антинуклон — линией,
направленной обратно во времени. Тогда процесс рассеяния нуклонов с
испусканием бозона может быть представлен фиг. 19,а. Направление
возрастания времени указано на фигуре; указано также направление линий,
причем его нельзя топологически искажать. Именно это мы подразумеваем,
называя диаграммы «хронологически упорядоченными». Аналогично, процесс
рассеяния антинуклона с испусканием бозона представляется фиг. 19,6, а
схемы других процессов изображены на фиг. 19,е — 19,з.
В результате интегрирования по d3x в выражении для гамильтониана
взаимодействия Hj мы приходим к сохранению импульса в каждой вершине.
Рассмотрим, например, процесс рассеяния нуклона (см. фиг. 19,а). Часть
Hj, которая приводит к этому процессу, равна
2 2
{Hl)al = lS^ S d3x S d*P’ S d3p e-i(P'+k-P>'x X
' r= 1 s=l
* / 9ЧЮ1У(»)*(Ю».№)«»(*)- (IMS)
Интегрируя no d3x, находим
(Я'>"=w-r 5 ^ 5 " 5 *>>' х
2 2
x 2i 2l 6(3> (P — P ~ wT (P^ r®S (PV) b* (?) b“ (p) a* (13.44)
T = 1 8~ 1
Возникшая здесь б-функция соответствует сохранению импульса в вершине.
Таким образом, если приходящий нуклон на фиг. 19,а имел импульс р, то
импульс уходящего нуклона р' связан с р соотношением р' = р —к, где к —
импульс испущенного мезона.
Время
Процесс d*b*a д
Процесс dba • е
>н
Фиг. 19.
§ 2. Рассеяние нейтрального мезона па нуклоне
409
Теория возмущений применяется так же, как и в обычной квантовой механике.
Если ограничиться процессами второго порядка1), то матричный элемент для
процесса i -> / дается выражением
m
Ет=рЕг
где |Ф/), ! Фг) и | Фт) — волновые функции конечного, начального и
промежуточного состояний системы. (Все они являются собственными
функциями Н0.) Суммирование проводится по всем промежуточным состояниям,
которые отличаются от начального состояния, обладающего энергией Ег.
§ 2. Рассеяние нейтрального мезона на нуклоне
В качестве иллюстрации к сделанным выше замечаниям вычислим в
псевдоскалярной теории с псевдоскалярной связью матричные элементы
нйзшего порядка для рассеяния нейтрального мезона на нуклоне.
Рассеяние двух частиц протекает через состояния, которые описываются
следующим образом:
Начальное состояние. В начальном состоянии имеются мезон с импульсом kt и
нуклон с импульсом pi и спиновым индексом т. е.
[ Фг) = ^*i (Pl) а* (ki)| Ф0). (13.46)
Промежуточные состояния. В низшем порядке теории возмущений в результате
взаимодействия Hi возможны следующие четыре промежуточных состояния:
а) нуклон поглощает мезон (это соответствует члену Ъ*Ъа в Hi), так что в
промежуточном состоянии имеется только один нуклон с импульсом Pi = Pi +
ki и энергией ]/pi + 4f2;
б) нуклон испускает конечный мезон с импульсом к2 (посредством члена
Ъ*Ъа*), так что в промежуточном состоянии находятся два мезона с
импульсами kt и к2 и нуклон с импульсом pt — k2;
в) рождаются пара нуклон—антинуклон и мезон (d*b*a*), так что в
промежуточном состоянии имеются два нуклона, один антинуклон и два
мезона; нуклон и мезон, образованные в этом процессе, будут составлять
конечное состояние;
г) начальный мезон образует пару, а сам «исчезает» (d*b*a), т. е.
промежуточное состояние состоит из двух нуклонов и одного антинуклона, но
не содержит мезонов.
Конечное состояние. Вторичное применение оператора Hi в формуле (13.45)
должно перевести систему в конечное состояние, в котором имеются мезон с
