Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
§ 1. Вводные замечания общего характера
В предыдущей главе изучались некоторые «простые» и решаемые модели теорий
поля. Теперь мы перейдем к обсуждению методов теории возмущений в
квантованной теории взаимодействующих релятивистских полей. Сначала
рассмотрим применение теории возмущений к описанию рассеяния частиц. Мы
будем основываться на выведенной ранее формуле -для A-матрицы в картине
Дирака. Вспомним, что в этой картине операторы поля удовлетворяют
свободным уравнениям и что зависимость от времени вектора состояния I^P
(t)) определяется гамильтонианом взаимодействия Hi(t):
ib3t|Y(0) = iy,(0|Y(0>. (13.1)
В этой картине A-матрица задается формулой А = ?/(оо, — оо) = lim lim U
(t, t0)
f-V + CO tQ—V — CO
OO +oo +CO
= 2 \ ^ ••• 5 dt»p(Hi(ti) ... яи*п))
?l=Q —oo —oo
Она полностью определяет изменение состояния системы вследствие
взаимодействия. В формулу (13.26) удобно подставить явное выражение для
плотности гамильтониана (х). Так как
Hi (t) = ^ d3xStfi (х), (13.3)
ТО
со +со +оо
^=2 5 &ХЛШЛХ0 ••• ЖЫ)- (13.4).
71=0 —СО —СО
Во всех интересующих нас примерах плотность гамильтониана будет иметь
следующее свойство:
[&€i (х), <361 (z')l = 0 ПРИ (х — х')2 < °> (13.5)
поэтому порядок, в котором следуют 3&i(x) и ?%?/(:г') при х0 — хй, не
существен, и, следовательно, оператор Р полностью характеризует операцию
упорядочивания. Выражение (13.4) для A-матрицы очевидным
(13.2а)
(13.26)
§ 1. Вводные замечания общего характера
399
образом {dfeapnaHTHO, и в этом заключается его преимущество перед
выражением (13.26). Инвариантность может быть сделана еще более явной,
если записать выражение (13.4) в виде
+ СО
S = P [ехр ([ — S^i(x)dlxyj . (13.6)
— СО
Так как 3ui{x) и d4x — скаляры, то показатель стщгени является
инвариантом. С другой стороны, в силу свойства (lj.5) хронологический
оператор Р тоже определен инвариантным образом. Тем самым завершено
доказательство инвариантности выражения (13.6).
При использовании выражения (13.4) в задачах теории поля имеется, однако,
несколько трудностей. Во-первых, для получения ^-матрицы нужно в U(t,t0)
перейти к пределам lim >оо, lim t0—>—оо, что требует специального
предписания. В частности, для члена n-го порядка имеется п\ способов
перехода к пределу. Во-вторых, должен быть дан рецепт, как сгладить
переходное поведение, обусловленное тем, что в момент времени t0 вектор
состояния является собственной функцией Н0, тогда как в любой следующий
момент времени зависимость вектора состояния от времени определяется
Hj{t).
Чтобы обойти эти трудности, Дайсон [196—199] ввел «промежуточное
представление взаимодействия» (или сглаженную картину взаимодействия). В
этой картине гамильтониан взаимодействия умножается на множитель вида ехр
(—X j t j ), обеспечивающий сходимость. Переходить к пределу X -*? 0
следует после выполнения всех вычислений. Такой множитель сходимости
устраняет как неоднозначность из-за порядка перехода к пределу t -*? + оо
(результат эквивалентен усреднению по п\ способам стремления к пределу),
так и переходные эффекты.
Другая трудность, встречающаяся при применении выражения (13.4) к задачам
теории поля, заключается в следующем. Как отмечалось выше, при применении
теории возмущений в картине Дирака (взаимодействия) обычно предполагают,
что начальное состояние системы является собственным состоянием
невозмущенного гамильтониана Н0. Из-за взаимодействия Hj (t) вектор
состояния изменяется. В конечном счете при больших t снова делается
предположение, что поведение вектора состояния определяется только Но-
Таким образом, применимость теории возмущений покоится на предположении,
что возмущенный и невозмущенный векторы состояния лежат в одном и том же
гильбертовом пространстве. Известно, однако, что для локальных точечных
взаимодействий это не так. Ван Хов [804, 805] показал, что в теориях с
трилинейными точечными взаимодействиями (или в теориях с недостаточно
быстро убывающими функциями обрезания) нет нормируемых векторов состояния
(отличных от вакуума для тех теорий, в которых «голый» и физический
вакуум совпадают), которые лежали бы в области пересечения гильбертовых
пространств собственных состояний Н и Н0.
Чтобы обойти эту трудность, в последнее время стало модным работать в
терминах так называемых «ин»- и «аут»-операторов (см. работы Янга и
Фельдмана [871] и Челлена [408], а также Швебера [708]), которые
удовлетворяют перестановочным соотношениям и уравнениям для свободных
полей и которые действуют в гильбертовом пространстве собственных
состояний полного гамильтониана Н. Для определения ин-опе-раторов
предположим, что картины Гейзенберга, Шредингера и Дирака
400
Гл. 13. Приведение S-матрицы к нормальной форме
совпадают в момент времени t = 0. Определим затем оператор
V+{t) = eiHtQ(+,e~iHI, (13.7)
где Q(+) — волновая матрица Мёллера. Напомним, что она имеет следующие
свойства:
й(+,|фа> = |^>, (13.8а)
(13.86)
или
QmH0 = HQw. (13.8в)
В дальнейшем мы будем предполагать, что гамильтонианы 1)]//0 и Н не имеют
