Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
Фа (Х) ФР (У) = (Фо, Т (фа (X) % (у)) Ф0) =
— iS?$ (х — у) при х0 > у о
+ (х — у) при г/о > хо
= -^$Fafi(x-y) = K+aSi(x — y). (13.82)
Из определения нормального и Г-произведений следует также Фр (У) Фа (X) =
- фа (х) фр (У) =
= +У^аР (Х-У)' (13’83>
Таким образом, всякий раз, когда спаренное произведение не равно нулю,
в нем важен порядок множителей. Наконец, смешанное спаренное
произведение бозонного и фермионного множителей равно нулю,
§ 3. Теорема Вика
419
так же как и спаривание двух множителей типа ф или ф:
ф‘ (х) ср' (у) = ф' (х) ф’ (у) = ф' (х) ф' (у) = ф' (ж) ф' (г/) = 0.
(13.84)
Итак, мы установили, что неравными нулю спариваниями являются
Фа (х) Фр (у) = (Фо, Т (фа (х) фр (у)) Фо) =
= ~JSFap (Х~У) (13.85)
И
Ф' (х) ф' (у) = (Фо, Т (ф (х) Ф (у)) Фо) =
= + ~%сАР (х — у). (13.86)
Функции —l!2Sp=K+ и Af иногда, следуя работе Штюкельберга и Ривье [752],
также называют причинными функциями Sc и Ас, поскольку Штюкельберг и
Ривье пришли к ним, как к функциям Грина, обеспечивающим правильную
причинную последовательность событий во-времени в квантовой теории (см.
также статью Фирца [257]).
Чтобы упростить дальнейшее изложение, определим нормальное произведение с
одним или несколькими спариваниями. Для различных спариваний мы будем
использовать значки, такие, как две точки, три точки и т. д. Например,
если UV . . . XYZ—операторы рождения и уничтожения, то, согласно нашему
определению,
N(U'V" ... R...X"YZ’) = ± (U'Z')(VX")N(... R . . . Y), (13.87)
причем знак плюс или минус должен быть взят в соответствии с тем,
является ли перестановка фермионных множителей при переходе от левой
части к правой четной или нечетной.
Теперь мы можем доказать очень полезную вспомогательную теорему.
Теорема. Если оператор Z предшествует во времени операторам UV . . . XY,
то
N(UV ... XY)Z = N(UV... XY'Z') + N (UV ... X'YZ') + ... ...+N (U'V .. .
XYZ') + N(UV ... XYZ). (13.88)
Поскольку для нормального произведения имеет место дистрибутивный закон,
то достаточно, очевидно, доказать соотношение (13.88) для случая, когда
каждый из множителей U, V, . . . X, Y является либо оператором рождения,
либо оператором уничтожения. Кроме того, согласно определению нормального
произведения, соотношение (13.88) остается верным при перегруппировке
множителей UV . . . XY, если произвести одну и ту же перегруппировку в
обеих частях соотношения: Поэтому можно-считать, что операторы UV . . .
XY уже расположены в нормальном порядке и все операторы рождения стоят
слева от всех операторов уничтожения.
Мы докажем теорему в предположении, что Z —это оператор рождения и что
все операторы UV . . . XY являются операторами уничтожения. Ясно, что
такое доказательство является исчерпывающим. Действительно, если UV . . .
XY являются операторами уничтожения, a Z — оператором рождения, то в
соотношение (13.88) можно добавить любое число операторов рождения слева
от всех множителей внутри jV-произведения. При этом справедливость
теоремы не нарушится, так как спаривание двух операторов рождения равно
нулю. С другой стороны, если Z будет оператором уничтожения, a UV . . .
XY — операторами рождения, то соотношение
97*
420
Гл. 13. Приведение S-матрицы к нормальной форме
(13.88) сведется к тривиальному тождеству. В самом деле, спаривание
оператора рождения с оператором уничтожения равно нулю, если'момент
времени, в который задан оператор уничтожения, предшествует моменту
времени, от которого зависит оператор рождения [см., например, формулу
(13.80)]. В этом случае в правой части соотношения (13.88) отличен от
нуля только последний член, и это соотношение превращается в тождество.
Теорема доказывается методом математической индукции. Ее справедливость
очевидна для случая одного множителя под знаком УУ-произведе-ния, так как
тогда (напомним, что, по определению, оператор Z предшествует во времени
оператору У)
N(Y)Z = YZ = T(YZ), (13.89)
а, согласно определению (13.76),
Т (YZ)^Y'Z' + N (YZ). (13.90)
Предположим теперь, что соотношение (13.88) верно для случая п
множителей, и умножим его слева еще на один оператор уничтожения D,
заданный в более поздний момент времени, чем оператор Z. Тогда
DN (UV ... XY)Z = N (DUV . . . XYZ*) -f . . .
... + N(DU'V . . . XYZ') + DN (UV . . . XYZ), (13.91)
потому что во всех членах, в которых оператор Z спарен, множитель D можно
внести под знак нормального произведения. Однако
поскольку,
по определению, Z есть оператор рождения, а все множители UV .
. . —
операторы уничтожения, - то
N{UV ... XYZ) = hpZUV ... ХУ, (13.92)
где бр —знак перестановки фермионных множителей. Отсюда
DN (UV ... XYZ) = bpDZUV ... XY. (13.93)
Учитывая снова, что оператор Z задан в более ранний момент времени, чем
оператор D, находим
DZ = Т (DZ) = D Z’ + N (DZ) =
= D'Z' -f 6qZD, (13.94)
и отсюда следует, что
DZUV . . . XY = D'Z'UV . . . XY + 6QZDUV . . . ХУ. (13.95) В силу нашего
определения нормального произведения со спариванием D'Z'UV ... XY = б PN
