Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
в физическое содержание теории, хотя в физическом смысле эти поверхности
не хуже плоских поверхностей t = const. В то же время физически
необоснованным является предположение, что эрмитовы операторы поля,
взятые в строго определенных пространственно-временных точках, существуют
и измеримы в обычном квантовомеханическом смысле. Действительно, Бор и
Розенфельд [69, 70] в своих классических работах, посвященных проблеме
измеримости электромагнитных полей, показали, что измеримы лишь средние
значения операторов поля по малым пространственно-временным объемам, т.
е. измеримы лишь эрмитовы операторы
вида ф (R) = ^ ф (x)d*x, где R — малая область пространства-вре-
R
мени. Это обусловлено конечными размерами классических ивмеритель-
§ 1, Вводные замечания общего характера
405
ных приборов и конечными промежутками времени, необходимыми для
определения сил при помощи изучения их действия на макроскопические
пробные тела. До сих пор еще не удалось найти связь между этими
ограничениями на возможности измерений и проблемой расходимостей
собственного заряда и собственной массы в релятивистских теориях поля.
Вместе с тем известно, что если пространственно-временной объем, в
котором производятся измерения флуктуаций поля или распределения
плотности заряда и тока, имеет резкие пространственно-временные границы,
то в теории возникают дополнительные «граничные расходимости» (см. статьи
Гейзенберга [368], Штюкельберга [753, 754] и Коринальдези
Чтобы уточнить сделанные выше замечания, мы проиллюстрируем их на простой
модели теории поля, в которой спинорное поле взаимодействует с
нейтральным мезонным полем. В картине Шредингера несим-метризованный
гамильтониан имеет вид
Н = ^ d3xty (— i\• д + М0) ф (х) + у ^ d3x {я2 (х) + ГоФ2 (х) + (ЙФ
(х))2} +
В картине Дирака операторы поля удовлетворяют следующим уравнениям
движения и перестановочным соотношениям:
( — iy.d-f М0)фд(я) = 0, [фд (х), фд(ж')]+ = — iS {х — х'), (13.32)
(? + Го)фс(^) = °» [фд(аО, <рд (я')]==: iA (я —ж'), (13.33)
а уравнение Томонага — Швингера для вектора состояния системы запишется в
виде
Уравнения, которым удовлетворяют ин-операторы фш(я) и фш(я), совпадают с
уравнениями (13.32) и (13.33), а оператор V+(t) подчиняется уравнению
Для применения развитого в гл. 11 формализма к рассеянию мезона на
нуклоне или к любому другому процессу рассеяния необходимо, чтобы спектры
гамильтонианов Н и Н0 совпадали. Если разбить гамильтониан (13.31) на
невозмущенную и возмущенную части согласно формуле
то эти спектры не совпадают по двум причинам. Во-первых, в релятивистских
теориях поля вообще, и в рассматриваемой модели в частности, «голый»
вакуум | Ф0) (собственное состояние гамильтониана Н0) не является
[144, 145]).
+ G ^ сРжф (х) Гф (х) ф (х).
(13.31)
(13.34)
где
ёвю (я) = G : фд (х) Гфд (х): фд (х).
(13.35)
idtV+ (t) = G ^ d3x : фш (я) Гфш (я): фш (я) V+ (t). (13.36)
где
# = #„ + #,( 0),
Я/ (0) = G ^ d3x : ф (х) Гф (х) : ф (х) _о
(13.38)
(13.37)
406
Гл. 13. Приведение S-матрицы к нормальной форме
собственным вектором гамильтониана Н. Действительно, слагаемое ф(_)
Гф(_)ф(—} в гамильтониане взаимодействия Hi приводит к рождению пар, и
поэтому Hi (0)) Ф0) ф 0. Из-за возможности рождения пар энергия
физического вакуума смещается относительно энергии «голого» вакуума на
(вообще говоря, бесконечную) величину собственной энергии вакуума Е0.
Чтобы собственные значения энергии «голого» и физического вакуума
совпали, мы прибавим и вычтем член Е0 — сдвиг уровня вакуума. Затем мы
будем рассматривать Н0 + Е0 как невозмущенный гамильтониан, a Hi — E0 как
возмущение. Во-вторых, аналогичное явление возникает и в одночастичных
состояниях: не совпадают энергии «голого» одночастичного состояния
(собственного состояния Н0) и соответствующего физического одночастичного
состояния (собственного состояния Н) с тем же импульсом. Для одиночной
(свободной) частицы единственный эффект, к которому может в релятивистски
инвариантной теории приводить взаимодействие, сводится к изменению массы
этой частицы (на ЬМ для нуклона и на 6р2 для мезона). Таким образом,
изменение энергии однонуклонного состояния дается формулой
E + ^E=VЩ^Щ^^VЩ+9i + Y^^+ (13.39)
и в первом порядке сдвиг уровня равен
А? = ^-. (13.40)
Для учета этого сдвига уровня спектры гамильтонианов Н0 и Н изменяют так
же, как и для простых моделей, рассмотренных в гл. 12.
Мы добавляем к Н0 член ^ d3x ЬМ : фф: и вычитаем этот же член из Ht,
а затем отождествляем М0 -f ЬМ с физической (наблюдаемой) массой
нуклона. Аналогично, мы добавляем и вычитаем член 1/г ^ d3x 6р2: ф2:
и отождествляем 6р2 + р2 с квадратом наблюдаемой массы мезона. Поэтому
невозмущенный гамильтониан и гамильтониан взаимодействия превращаются в
Н'0 = ^ d3x : ф (— i\ ? д + М) ф : + ~ d3x : я2+р2ф2+(дф)2: +Е0,
с (• ~ ie (13.41)
H'i = G \ d3x : фГф : ф — Е0 — \ d3x : фф : ЬМ — у \ d3:c6p2: ф2
где перенормировочные контрчлены должны быть определены таким образом,
