Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
Следует вспомнить, что такие же выражения для матричных элементов, как и
(13.64) и (13.65), получаются и в низшем приближении в статической модели
Чу (за исключением функций обрезания), что проливает дополнительный свет
на область применимости этой модели.
Матричные элементы (13.61) и (13.62), в которые дают вклад процессы с
рождением пары, велики. В нашем приближении эти матричные элементы
сферически симметричны, так что диаграммы фиг. 20, виз ответственны в
основном за ^-волну в амплитуде рассеяния. Более тщательное изучение
задачи рассеяния без использования приближения Борна показывает, что на
самом деле в амплитуде рассеяния S'-волна значительно меньше получаемой ц
приближении Борна, а Р-волна — больше [54].
В заключение этого параграфа мы качественно обсудим, почему в пределе к <
М диаграммы фиг. 20, а и б в основном приводят к P-волне рассеяния, тогда
как диаграммы фиг. 20, виз — к ?-волне. Причина, по существу, заключается
в следующем: при энергии мезона © (k) < М нуклон в системе центра масс
движется очень медленно по сравнению с мезоном. Поэтому в первом
приближении его движением можно полностью пренебречь. Рассмотрим, далее,
применение законов сохранения момента количества движения и четности к
двум процессам, соответствующим дйаграм-
§ 2. Рассеяние нейтрального мезона на нуклоне
415
мам фиг. 24. Если мы условно предположим внутреннюю четность нуклона
положительной, то внутренняя четность антинуклона будет отрицательна. Так
как рассматриваемый мезон псевдоскалярен, то перед поглощением четность
всей системы будет положительной в случае Н-состояния и отрицательной в
случае 5-состояния. После поглощения в процессе, изображенном на фиг. 24,
а, возникающий нуклон, согласно принятому условию, обладает положительной
внутренней четностью. В то же время в результате процесса на фиг. 24, б
возникает состояние с отрицательной четностью. Поэтому псевдоскалярный
мезон может быть поглощен только из состояний с нечетным орбитальным
моментом в процессе, показанном
на фиг. 24, а, и только из состояний с четным орбитальным моментом в
процессе, показанном на фиг. 24, б. Если ограничиться низшими
парциальными волнами, то диаграмма фиг. 24, а соответствует поглощению
только из Н-состояния, а диаграмма фиг. 24, б — только из 5-состояния.
Перейдем теперь к описанию рассеяния в картине Дирака, используя
выражение (13.4) для 5-матрицы. Допустим, что нас снова интересует
амплитуда рассеяния мезона на нуклоне.В низшем порядке теории возмущений
амплитуда рассеяния из начального состояния | р s; k)= 6Др)а*(к) (Ф0) в
конечное состояние| p's'; к') дается выражением
Из этого выражения можно было бы получить в аналитическом виде элемент 5-
матрицы для рассеяния. Однако существует общий метод приведения 5-матрицы
к сумме частей, каждая из которых дает вклад в определенный процесс.
Поэтому сначала мы изложим этот общий метод, а уже потом вернемся снова к
частной задаче рассеяния мезона на нуклоне.
Нуклон: J=+2 Четность: +1
состояния
отрицательна
начального
состояния
равна -(-1)
а
Фиг. 24.
(p's'; к' | 5 | ps; к) =
=----------^ d*Xl S dix2{p's'] к' 1 Р (^1 (аД mi
(х2)) | Р«; к) =
= —^ t ^ &х2 (p's'; к' I Р (ф (ой) Гф (аД ф (ад) ф {х2) Гф (аД Ф (аД) |ps
;к) = = fp § d*x<- J) d*x2 (Р'^ [ P (Ф On) Гф (аД ф (x2) Гф (x2)J | ps) X
X <k' \P (ф (аД ф (x2)) | к). (13.66)
416
Гл. 13. Приведение S-матрицы к нормальной форме
% 3. Теорема Вика
Каждый член разложения 5-матрицы в степенной ряд (13.4) приводит к
большому числу виртуальных и реальных процессов. Дайсон [195— 197] и Вик
[846] показали, как выразить хронологическое произведение Р (effii (zi) •
• ? sWi (яп)) в такой форме, в которой все виртуальные процессы
представлены явно. Они применили так называемое разложение
хронологического произведения на сумму нормальных произведений. Следует
вспомнить, что последние определяются, как такие произведения операторов
рождения и уничтожения свободных частиц, в которых все операторы рождения
стоят слева от всех операторов уничтожения. Тогда существует одно и
только одно нормальное произведение, имеющее отличный от нуля матричный
элемент перехода между любыми наперед заданными начальным и конечным
состояниями, которые содержат данные числа свободных частиц с
определенными импульсами и проекциями спина. Таким образом, разложение 5-
матрицы на сумму нормальных произведений эквивалентно перечислению всех
элементов 5-матрицы в представлении, которое диагонально по числам
заполнения свободных частиц. Диаграммы Фейнмана оказываются тогда просто
компактным графическим способом представления нормального произведения.
Мы покажем здесь, как приводить 5-матрицу к нормальной форме, следуя
алгебраическому методу Вика [846].
Рассмотрим сначала простое произведение операторов Q в картине
взаимодействия. Разложение такого произведения на сумму нормальных
произведений, в которых все операторы рождения стоят слева от операторов
