Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
связанных состояний. Тогда Н<+1)"1 = Н<+>* и
Vt(ty1 = eiHtQl+)*e-iHt =
(13.9)
Развитие во времени оператора F+ (г) определяется следующим
дифференциальным уравнением:
idt\\ (t) = eiHt [Q<+\ H] e~iHi =
= е«^(+)(Я-Я0)е-{я( =
= eiHtQ.i+',e~lHteultHI (0) e~iHt =
= B+ (t) HIH (t), (13.10)
где значок H использован для обозначения гейзенберговского оператора.
Определим гейзенберговский «ин»-оператор:
Oin-(t) = V+ (t)0H(t) F+ (t)-' =
= eiHtQ,we~iHtOH (t) eiHtQw'1e~iHt =
= eiHtQM0H (0) Qw-le~iHi =
= eiHtOin (0) e~iHt. (13.11)
Из этого определения легко вывести уравнение движения, которому
удовлетворяет оператор Oin(i):
-idtOln(t) = [H, Oln{t)], (13.12а)
как и требуется для гейзенберговского оператора. Имеем также
_ idtOia (t) = eim {HQi+iOH (0) - Ql+)0H (0) e~iHt =
= eiHtQm [H0, Oh (0)] =
= eiHtQwe-iHt [H0H (t), 0H (f)] =
= [tf0m(0> Oln(0], (13.126)
так что оператор Ощ (t) подчиняется свободному уравнению, определяемому
гамильтонианом Н01п. Чтобы получить выражение для гамильто-
2) Операторы Н, U0, Hj и т. д. без временного аргумента являются
гейзенберговскими операторами, отнесенными к моменту времени г = 0. Их
зависимость от времени определяется соотношением
0H{t) = elHtOH{ 0)e~iHt, так что Н (t) =Нн (t) =Н (0) = Н-
§ 1. Вводные замечания общего характера
401
ниана #„ in» следует заменить в выражении для Н0 гейзенберговские
операторы «ин»-операторами. Из равенств (13.11) и (13.86) следует
#0 in (г) = eiHtQwHm (0) Q<+)_1e-iH* =
= eiHtHHe~iHt =
= tf = tf0in(0). (13.13)
Следовательно, собственные состояния гамильтониана H0in являются
также собственными состояниями и гамильтониана Н.
Подставляя множитель F+ (i)_1F+ (i) в правую часть уравнения (13.10),
можно переписать его в виде
= (13.14)
Для получения других свойств оператора F+ (t) рассмотрим
мат-
ричный элемент
(Ф? I V+ (t) I ф+) = е-ЦЕа~Еъ>‘ | ?><+> | =
= в-‘№0-яь)|(фь^+> =
= (13.15)
Переходя к пределу t—.>± оо, получаем
lim (трь | V+ (г) | ) = б (Ъ—а), (13.16а)
/-> —СО
lim (1)>ь |И+(г)|г))+) = 6(& — а) — 2ягб(?ь — Ea)Rba — Sba, (13.166)
t—?“('СО
т. е.^ lim F+(<) =S (^-матрице в картине Гейзенберга, матричные эле-
?-* + СО
менты Sba которой определены через точные гейзенберговские состояния
рассеяния |ф+), являющиеся собственными состояниями гамильтониана Н [а
также и //о in, рогласно равенству (13.13)]). Формализм S-матрицы на
основе «ин»-операторов подобен развитому ранее формализму на основе
операторов в картине взаимодействия. Например, F+ (t) в силу уравнения
(13.14) и граничного условия lim F+ (<) = 1 удовлетво-
/ —со
ряет интегральному уравнению
t
F#(0 = 1-*J HIin(t')VAt')dt\ (13.17)
—со
откуда
со t t
V+ (0 = 2 ] dtl • ? • \dtnp (HI in (h) ...Hj M) (13.18)
П—О —со —CO
и S — F+ (+ oo). Элементы ?-матрив;ы вычисляются между собственными
состояниями невозмущенного гамильтониана (он теперь НoinO-
Мы снова хотим подчеркнуть, что этот формализм справедлив только тогда,
когда нет связанных состояний. Позже мы вернемся к проблеме учета
связанных состояний.
Можно построить в точности такой же формализм и с помощью оператора V_
(<), который определяется соотношением
F_ (<) = eiHtQ.l-'e-iHt. (13.19)
2fi С. Швебер
402
Гл. 13. Приведение S-матрицы к нормальной форме
При этом 5-матрица дается выражениями
lim (г|)ь | V_ (г) | фа) = 5Ьа (13.20a)
t —?> — СО
И
lim (фь | V_ (Z)| ф“) = б (b — а). (13.206)
t —>+оо
С помощью оператора V_ (t) можно определить гейзенберговские «аут»-
операторы
Oont (t) = V_ (t) 0H (t) V_ (t)-\ (13.21)
которые снова подчиняются свободным уравнениям, и построить «аут»-
собственные состояния | фа). Легко найти соотношение между ин- и аут-
операторами. С этой целью вспомним, что 5-матрица может быть
определена из соотношений 5 \ ф„) = | ф?) или 5Й(_) | сра) = й<+> |
фа), откуда
5 = Я'+'й»-»-1 (13.22)
и
0out (0) = Q'-> Он (0) Q<->-1 = Q<~)Q<+)~10in (0) й'+’й'-»-1 =
= 5_1 Oia (0) 5. (13.23а)
Так как 5-матрица коммутирует с ехр iHt, то в общем случае
Ooy&{t) = S-Wln(t)S. (13.236)
В ин-аут формализме мы обходим трудность, связанную с тем, что
невозмущенные и возмущенные собственные состояния не лежат в одном и
том же гильбертовом пространстве. Нужно отметить, однако, что
в строгом математическом смысле не существует унитарного опера-
тора П(±), если гамильтонианы H0vl Н не имеют общих векторов состояния.
Таким образом, исходная трудность только переносится в другое место.
Поэтому мы пока продолжим наше изложение в картине Дирака.
Томонага [782] и Швингер [711] положили начало интенсивному использованию
картины взаимодействия в теории поля, что привело к значительному
прогрессу в развитии вычислительных методов теории поля. Преимущество
картины взаимодействия заключается в том, что в этой картине операторы
поля удовлетворяют свободным уравнениям, так что могут быть записаны
неодновременные инвариантные перестановочные соотношения. В этой картине
уравнение (13.1) можно обобщить и придать ему ковариантную форму.
Уравнение (13.1) в той форме, в которой оно записано, не ковариантно,
