Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
(D'UV . . . XYZ). (13.96)
Аналогично,
ZDUV ... XY = бРб qN (DUV . . . XYZ). (13.97)
В итоге, объединяя результаты, получаем
DN (UV . .. XYZ) = bpDZUV . . . XY =
= bpN (D'UV . . . XYZ')+b2P62QN (DUV . .. XYZ). (13.98)
Так как 6q = 6|> = 1, to наша теорема доказана для случая тг + 1 опе-
раторов уничтожения, что достаточно для общего доказательства теоремы
методом математической индукции.
§ 3. Теорема Вика
421
Эта теорема сразу же обобщается. Умножим слева соотношение
(13.88) на множитель RS". Тогда, используя определение (13.87), можно
придать соотношению (13.88), например, следующий вид:
N (URV . . . S-XY) Z = N (URV . . . S"XY'Z') + ...
... + N{U’R'V ... S"XYZ') + N (URV . . . S'XYZ).
(13.99)
Можно умножить на несколько таких спаренных множителей. Таким образом,
теорема (13.88) остается верной и тогда, когда внутри произведения N (UV
... XY) имеется любое число отмеченных спариваний (одних и тех же,
конечно, в каждом члене).
Теорема Вика гласит: Г-произведение операторов равно сумме их У-
произведений со всеми возможными спариваниями, включая и их TV-
произведение без спариваний
Т (UV . . . XYZ) = N(UV ... XYZ) + TV {U’V . . . XYZ) + . . .
. . . +N(U'V" . . . X"YZ’)+ ...+N (U'V “W“ ... X"'Y'Z"’)+ .... (13.100)
Доказательство проводится снова методом математической индукции. Для
одного множителя теорема верна. Она верна и для двух множителей, так как
в этом случае она совпадает с определением (13.76). Предположим, что
теорема соблюдается и для п множителей. Затем умножим справа соотношение
(13.100) на оператор О, предшествующий во времени всем остальным
множителям:
Т (UV .. . XYZ) Q = T{UV ... XYZQ). (13.101)
После умножения на оператор Q члены в правой части соотношения (13.100)
приобретают вид N(UV . . . XYZ)Q. При помощи ранее доказанной теоремы
(13.88) эти члены могут быть снова переразложены на сумму нормальных
произведений. Тем самым теорема (13.100) оказывается верной и для п -\- 1
множителей, если оператор й предшествует во времени операторам U, V, . .
., X, Y, Z. Это ограничение, однако, можно легко устранить. Если онератор
Q находится под знаком Т- и N-произведений, то можно переставить
операторы, так как, согласно определению Т- и TV-произведений,
соотношение (13.100) инвариантно относительно одинаковых перегруппировок
множителей в обеих частях соотношения. Тем самым теорема доказана в общем
случае п -\- 1 множителей.
Для разложения простого произведения операторов на сумму нормальных
произведений также можно записать похожее на приведенное выше правило
(см. работы Дайсона [195, 196]). Обозначая в этом случае символ
свертывания линией, соединяющей соответствующие множители, можно
определить операцию свертывания при помощи соотношений (13.70а)-
(13.70г):
(з) % (х') = — ^ор (ж — х') = (Ф0, фа (х) фр (х') Ф0), (13.102)
% (я')ф<* (я) = — iSa& (х — х') = (Ф0> % (я')Ф<* (ж)Фо), (13.103)
1 --
Ф (х) ф (х') = гД(+) (х — х’) = (Ф0, ф(я)ф (#')Ф0), (13.10,4)
I___1
ф (х) ф (у) = $ (х) ф (у) = ф (х) ф (у) = ф (х) ф (у) = 0. (13.105)
422
Гл. 13. Приведение S-матрццы » нормальной форме
Методом математической индукции легко доказать теорему о разложении, в
которой утверждается, что простое произведение операторов равно сумме их
TV-произведений со всеми мыслимыми свертываниями, включая и их TV-
произведение без свертываний:
UV. . .XYZ = TV (UV.. .XYZ) + TV (UV.. .XYZ) +
+ . . .+N (UV.. .XYZ)+.. . . (13.106)
I_________I
Только доказанные теоремы нельзя непосредственно применить к приведению
^-матрицы к нормальной форме по следующим причинам: во-первых, в
разложении ^-матрицы фигурирует хронологический оператор Дайсона Р, а не
оператор Вика Т. Во-вторых, ^-матрица содержит некоммутирующие операторы,
зависящие от одного и того же момента времени, и операция Т-
упорядочивания на них не распространяется.
В квантовой электродинамике гамильтониан взаимодействия имеет вид
Sfei(x)=jv,(x)Av‘(x), и вторая трудность устраняется, если помнить, что
выражение для плотности тока
/и (*) = — еф (х) у^ф (х) (13.107)
неверно и должно быть заменено выражением
]р.(х)= — Ф (х)\- (13.108)
Выражение (х) для тока получается при симметризации теории относительно
частиц и античастиц. Вакуумное среднее от Цt (х) равно нулю:
(Фо- /;МФ0) = 0. (13.109)
Легко показатьДчто этот симметризованный ток (мы теперь будем опускать
штрихи) может быть записан в виде нормального произведения
/и(я)= — eTV (ф (z) у^ф (ж)). (13.110)
Поэтому, когда в хронологическом произведении появляется ток /^(х),
множители в выражении для тока упорядочены операцией нормального
произведения. Таким образом, в квантовой электродинамике ^-матрицу можно
записать в виде
СО
^=2 (~^Ухг 5 ^ S ***• ? • S х
п—О
X Т {Щф^) у^ф^М,^)). • .TV($(zn) у^ф(а:п) Ацп (*п))}, (13.111)
где мы внесли под знак нормального произведения и оператор А^ (это можно
сделать, потому что операторы фувф (х) и А^(х) коммутируют). Кроме того,
в этой записи разложения Дайсона оператор Р заменен оператором Т, так как
