Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
уничтожения, выводится при помощи перестановочных соотношений между
входящими в произведение Q множителями. Эти соотношения являются
операторными тождествами и не зависят от тех конкретных состояний,
которые могут нас интересовать. Введем снова оператор N, который при
действии на произведение операторов рождения и уничтожения записывает это
произведение в нормальной форме. При этом подразумевается, что
перестановка операторов должна производиться так, как если бы в
перестановочных соотношениях для операторов все коммутаторы и
антикоммутаторы были равны нулю. Таким образом, операция iV-
упорядочивания включает изменение знака при перестановке
антикоммутирующих полей. Вспомним, что для произведения двух бозонных
множителей имеем.
N (ф<_) (х) ф(+) (у)) = N (ф(+) (у) фм (ж)) = ф('> (х) ф<+) (у).
(13.67)
Аналогично для произведения двух фермионных множителей N (ф<+) (х) ф(_)
(у)) = — N (ф(-’ (у) ф!+) (ж)) = „
= — ф(-) (у) ф<+) (х). (13.68)
По определению, для нормального произведения справедлив дистрибутивный
закон, например
N (ф (х) ф (у)) = N [(ф(+) (х) + фм (х)) (ф(+) (у) + ф(-} (у))] =
= N (ф<+) (х) ф(+> (у)) + N (ф(+> (х) фм (у)) +
+ N (ф(-> {х) ф<+) (у)) + N (ф<_> (х) фм (у)).
(13.69)
§ 3. Теорема Вика
417
Используя перестановочные соотношения, можно затем записать:
?фес (х) фр (у) = N (фа (a:) фр (у)) — iSfe {у — х), (13.70а)
?фа (х) ij5(3 (У) = N (фа (х) фр (у)) — iS$ {х — у), (13.706)
ф(ж)ф(у) = ЛДф(а;)ф(у)), (13.70в)
Ф (х) ф (у) = N (ф (х) ф (у)) + i%cAi+) (х — у), (13.70г)
cp(x)xp(y) = JV(cp(x)xp(x)). (13.70д)
Теперь мы введем хронологический оператор Вика Т, отличие которого от
хронологического оператора Дайсона Р заключается только в том, что при
действии оператора Т учитывается знак перестановки фер-мионных
множителей:
Т (UV ... Z) — ЪрХУ (13.71)
Другими словами, оператор Т, действуя на произведение зависящих от
времени операторов UV. . . Z, располагает входящие в произведение
множители в хронологическом порядке XY . . . (оператор, зависящий от
самого позднего момента времени, стоит крайним слева), причем всему
произведению придается знак плюс или минус (бр) в зависимости от того,
является ли перестановка фермионных множителей при переходе от левой
части равенства (13.71) к правой четной или нечетной. Это означает, что
при перестановке множителей в хронологическом порядке оператор Т
действует так, как если бы все коммутаторы и антикоммутаторы были равны
нулю. Для случая двух множителей
Т (ф (я) ф (у)) ^ +ф(;г)ф(?/), если х0>у0, (13.72а)
= — ф (у) ф (ж), если у0 > х0. (13.726)
Б силу перестановочного соотношения 0 = [ф (ж), ф (у)]+ правые части
равенств (13.72) в обоих случаях можно записать в виде
Т (ф (ж)ф(г/))= ф (ж)ф(у). (13.73)
Аналогично,
Т (Ф (х) ф (у)) — +ф(ж)ф(у),
7(ф (ж)ф(у)) = ф(ж)ф(у),
= ф(у)ф(ж),
если хо > У о.
если Уо > х0,
если х0 > 2/о.
если Уо > х0.
(13.74)
(13.75)
Теперь вернемся к основной задаче — как выразить хронологическое,
нроизведение через сумму нормальных произведений. Для этого введем
понятие спаривания двух множителей, которое нам понадобится для
представления коммутаторов и антикоммутаторов, возникающих при
преобразовании хронологического произведения к нормальной форме. Будем
обозначать спаривание двумя точками, стоящими вверху' справа у
соответствующих двух множителей. В качестве определения спаривания
возьмем соотношение
Т (UV) = U'V' + N (UV), (13.76)
где U'V' — спаривание множителей U и V. В картине взаимодействия
интересующие нас коммутаторы или антикоммутаторы всегда являются с-
числами, так что спаривания также всегда представляют собой с-числа.
Далее, из определения оператора N следует, что среднее по вакууму
27 с. Швебер
418
Гл. 13. Приведение S-матрицы к нормальной форме
(«голому») от нормального произведения операторов в картине
взаимодействия равно нулю. Поэтому если равенство (13.76) усреднить по
вакууму, то мы получим
U V' = (Ф0, T(UV) Ф0). (13.77)
Из определений Т- и N-произведений следует, что при х0 > у0
Ф<+)’ (X) ф(-)- (у) = Т (ф(+) (х) ф("> (у)) — N (ф(+) (х) ф(-> (у)) =
= ф(+) (х) фм (у) — ф<_) (у) ф<+) (х) =
= [ф(+)(х), ф^ (у)] = iftcA<+)(x — у). (13.78)
Аналогично проверяется, что
ф(+)' (х) ф*'1' (у) = 0 при у0 > х0, (13.79)
в согласии, конечно, с определением спаривания при помощи соотношения
(13.77), а именно
Ф<+)' (х) Ф(_)' (у) = (Ф0, Г (ф(+) (х) Ф<_) (у)) Фо) = fiftcA<+> (х —
у) при х0 > у0,
[О при у0 > х0. (13.80)
В общем случае оказывается, что
ф' (х) Ф' (У) = т (ф (х) Ф (У)) - N (Ф (х) Ф (У)) =
= (Ф0, Т (ф (х) ф (у)) Ф0) =
+ ihcAM(x-y) при х0 > у0, (13 81а)
— ihcA(~) (х — у) при у0 > х0.
Следуя Дайсону, обозначим функцию, которая имеет свойства, указанные в
правой части соотношения (13.81), через Ар(х-у), т. е.
l.A , , f г'ЯсА<+) (х — у) при х0 >г/о,
TftcAF (х-у = (13.816)
z ( — ihcfr ’ (х — у) при у о > х0.
Используя определение (13.76) и перестановочные (антикоммутационные)
соотношения, мы подобным же образом найдем для фермионных множителей
