Симметрии и законы сохранения в физике - Шмутцер Э.
Скачать (прямая ссылка):
Приложения теоремы Нётер в механике и теории поля 65
Подставляя эти выражения в (2.3.3), получаем явный вид системы неоднородных уравнений Максвелла
Biiit = -Ji1' (2-3.6)
где величина
2?" [ф*ф,і-ф*’іф--Ц-Ф*Ф^] (2.3.7)
представляет собой 4-вектор плотности электрического тока, образованного полем Клейна — Гордона.
Уравнение Клейна — Гордона и соответствующее комплексно сопряженное уравнение вытекают из уравнений Лагранжа в ковариантной записи *)
вЛ __ дА j дА \ _л , Q о Qx
6Ф* — дФ* Iwj J;j_ ’
#-*-МЫ’г* (2-3-9)
Дифференцирование лагранжиана (2.3.1) приводит к выражениям
дА _ ffl Г I0, Am (Ф* \J±_A фП I mQc2 Ф*1
дф ~~ 2то L \ He т № J ’
(2.3.10)
дА %Ъ [Ф^' + іаЛ’Ф*], (2.3.11)
дА Tfi [іаАт{Ф'т-іаАтФ) + ^^ф'] (2.3.12)
[Ф’5 — іаА*Ф\. (2.3.13)
2т0
дА й2
<«)*_ } ~ 2m0
1J Добавление к лагранжиану скалярного поля дивергенциаль-ного члена позволяет получить выражение, обращающееся в нуль в силу уравнений поля, как это автоматически имеет место для лагранжиана поля Дирака; аналогичная процедура возможна и в применении к электромагнитному лагранжиану наравне с указанной в примечании на предыдущей странице.— Прим. перев.
66
Глава 2
Подставляя эти выражения в (2.3.8) и (2.3.9), получаем два указанных уравнения поля:
he * Til2C2
-Aiu ф_^ф = 0 (2.3.14)
и
+ JZ-Aiii ф*_^.ф* = 0. (2.3.15)
Следующий шаг состоит в нахождении тензоров энер-гии-импульса максвелловского и клейн-гордоновского полей с учетом их взаимодействия, т. е. тензора энергии-импульса полного неметрического ПОЛЯ.
Канонический комплекс энергии-импульса (1.6.18) принимает вид
=-grф-s+т~ ф*-s +
»г >1
V J7
' дХ Am, S-gig. (2.3.16)
дАт, г
Чтобы перейти к симметричному комплексу энергии-импульса, нужно сначала вычислить на основании (1.4.5) выражение (1.6.32):
и
SSimh = J^L-Ak = YgBmiAh. (2.3.17)
"iSnf І
При этом мы учитываем, что поле Клейна — Гордона описывается инвариантной волновой функцией (скаляром), и поэтому в последнем выражении отсутствуют представляющие его члены. Так как выражение (2.3.17) антисимметрично по двум первым индексам, мы можем применить конструкцию (1.6.35). В результате, учитывая (2.3.4),
(2.3.11) и (2.3.13), получаем для симметричного тензора
Приложения Шедремы Йетер в механике U теории поля 67
энергии-импульса полного неметрического поля выражение 2У = BmSml + -І-{ (ф.,, + |-,4.Ф*) X Х(Ф'‘-?Л‘Ф) + (Ф*.* + ?Л'Ф*)(Ф.,~-!:ЛФ)--г.‘[(ф*'"+1л”Ф-) (ф,ш-|-л„Ф) +
+ -^ф*ф]} • (2.3.18)
Канонический комплекс энергии-импульса калибровочно неинвариантен (относительно фазовых и градиентных преобразований). Симметричный же комплекс энергии-импульса, напротив, обладает калибровочной инвариантностью, а именно из него и строятся наблюдаемые величины. Рассмотрим подробнее эти калибровочные преобразования {% — вещественная калибровочная функция)
Ai = At + x,i, Ф = Фехр(-Ц-%
Ф* = Ф*ехр(— ?х) •
При таком комбинированном преобразовании лагранжева плотность (2.3.1) остается форм-инвариантной, так что мы имеем дело с одним (единственным) непрерывным преобразованием симметрии, не сводящимся к преобразованиям координат. Поэтому, согласно теореме Нётер, нужно ожидать появления соответствующей сохраняющейся величины. Чтобы лучше разобраться в этой ситуации, перейдем сначала от (2.3.19) к соответствующим бесконечно малым преобразованиям (? инфинитезимально)
At = At + x.i, Ф = Ф + -^-Ф%, Ф* = Ф*--^-Ф*х
(2.3.20)
или
бAi = Xlll 6Ф = ІгФх, бФ*=-^-Ф*х- (2.3.21)
(2.3.19)
68
Ґлава 2
Подставляя эти величины в соотношение Нётер (2.3.7), которое здесь записывается как
<2-3-22'
получаем, используя обозначение (2.3.7), уравнение непрерывности
(Kiyfe), ft = 0, (2.3.23)
которое выражает дифференциальный закон сохранения электрического заряда как следствие калибровочной инвариантности.
Система, состоящая из гравитационного, максвелловского и дираковского полей
Для такой системы лагранжева плотность [в смысле разложения (1.4.18)] имеет вид
(Q)R 1 2и
(2.4.1)
Здесь Tii0 — масса покоя электрона или позитрона; yk — метрические биспинтензоры (обобщенные матрицы Дирака), удовлетворяющие соотношению
VftVm + ymyh = 2ghm; (2.4.2)
T — дираковский биспинор; Y — T+P — сопряженный ему биспинор.
Индекс «+» обозначает операцию эрмитова сопряжения (T+ — эрмитово сопряженный биспинор). Ковариантная производная биспинора определяется как
T.ft=?i&+rftT, (2.4.3)
где биспинорные коэффициенты связности имеют вид [3]*)
Tk = -^fi (п ^ — { /fc } ) —
— 4rSp(wY/,ft)Y — 157ЛЬ + Т0'Ь- (2.4.4)
1J Эти понятия рассматриваются также в более доступной для нашего читателя книге [22].— Прим. перев.
Приложения теоремы Нетер в механике и теории поля 69
В этом выражении
Y = -47у tWiYnYnW. (2.4.5)
причем 0 определяется через
Va = Vyeie, где Y = Y12Yj. (2.4.6)
(Yab — метрический спинор). Если подставить выражение
(2.4.4) в (2.4.3) и ограничиться частным случаем мира Минковского с галилеевыми координатами, то ковариант-ная производная биспинора сведется к его калибровочной производной, т. е. к операции, обычной в теории поля.
