Симметрии и законы сохранения в физике - Шмутцер Э.
Скачать (прямая ссылка):
?2 ?2 ?2
+ Ь IT [ 2 X Ta] = О»
Q
а закон (2.1.29) —вид
і Гг ^ 1 -г dH
Приложения теоремы Нетер в механике и теории поля 61
так как, очевидно, As = 0. Поскольку введенные бесконечно малые параметры друг от друга не зависят и произвольны, из последних двух соотношений мы получаем закон сохранения импульса
~ЗГ [ 2 = 0 (из пространственного сдвига),
а
закон центра масс, имеющий характер закона сохранения,
[ 2 — tmsixa}] = 0 (из поступательного движения),
а
закон сохранения момента импульса
-Jj- [ 2 X XqJ = 0 (из вращения) а
и закон сохранения энергии dH
dt
0 (из сдвига во времени).
На языке бесконечно малых канонических преобразований теория может быть представлена следующим образом [3]. Бесконечно малый канонический генератор принимает вид
I = — а 2 Pa — — Ь 2 тй X Pq —
Q а
— Ь (*2ра —2"??)- (2.1.35)
?2 а
В соответствии с (2.1.15) это дает при дифференцировании
6tp = a -f- b X ta -f'
Sp?2 = b X Pb+bm.?2 + |pQ, (2.1.36)
Н-Н=Ь + ^ .
Q
Гамильтониан, соответствующий лагранжиану (2.1.30), имеет вид
# = T2™s + F(|ta-tr|). (2.1.37)
Q
62
Глава 2
Разложение в ряд Тейлора в приложении к (2.1.20) дает 6Я=ь2>+6-§-=-§. (2.1.38)
Q
Тем самым показано, что H обладает требуемыми свойствами симметрии, так что величина (2.1.35) в соответствии с (2.1.24) является константой движения. К отдельно взятым законам сохранения можно перейти аналогично тому, как это уже сделано выше.
§ 2. Релятивистская механика материальных точек
В этом случае естественно исходить из соответствия
{X (математический параметр) или т (собственное время).
Принцип Гамильтона записывается в виде (в этом параграфе точкой обозначена полная производная по параметру %)
8 j L(x\ xl)dK = 6 j X (яг, ~)dx = 0. (2.2.1)
Л.1 Pi
Здесь P1 и P2 — фиксированные точки пространства-времени.
У равнения Лагранжа имеют вид
= -??. — Aii=O1 (2.2.2)
Ьхі дхі “Л
если в качестве параметра берется К, или вид
ЬХ _ дХ_________&_ ( дХ , J_ / дХ dxi
Ьхі дхі dx \ q (dxi/dx) c2
I _I I dX dx* о? \ rr dxm dxn _^ .л n o\
+ 2c2 \ a (dxi/dx) dx Xjgmn,) d% dx — U, ( .Z.6)
если параметром служит т [3]. Канонический 4-импульс определяется выражением
_ dL ____ дХ . 1 / дХ dx^ _у \ ^Xj (2 2 4ї
Pi~ д’і ~ д {dxi/dx) { о (dx*/dx) dI * dx
/ дХ — dxJ \ і
\ д (dxi/dx) dx / dx J
Приложения Шеореми Н'ётер в механике и теории поля 63
Для электрически заряженной частицы в электромагнитном поле имеем
X= -W0C* + I Am^, (2.2.5)
где т0 — масса покоя частицы, е — ее электрический заряд, Am — 4-потенциал поля. Канонический 4-импульс при этом принимает вид
Р1 = »»о4г + Т^’ <2-2-6)
а уравнение Лагранжа (2.2.3) переходит в уравнение движения
Г d2xj I dxm dxn 'I е г, dxm /0 0
ЫлГ JST TT J = T^mTT' <2-2-7)
где Bjm = Am, j — Aj, т — тензор напряженности электромагнитного ПОЛЯ.
Применимость теоремы Нётер в этом случае оказывается весьма ограниченной, так как функция Лагранжа (2.2.5) инвариантна лишь относительно преобразования параметра
X' =X +
Поэтому теорему Нётер следует брать в формулировке
(1.4.3), что дает соотношение
Однако оно выполняется тривиально, так как для этого случая справедливо равенство
L = ^7Xi. (2.2.8)
дх^
Обнаруженная ситуация с точки зрения физики вполне естественна, так как заряженная частица, помещенная в электромагнитное поле, вообще не характеризуется никакими сохраняющимися механическими величинами. Сохранение реализуется лишь в том случае, если наложить ограничения на потенциал (например, энергия сохраняется, если поле консервативно или потенциально, и т. д.).
64
Глава 2
§ 3. Система, состоящая из гравитационного максвелловского и клейн-гордоновского полей
Для такой системы лагранжева плотность [в смысле разложения (1.4.18)] имеет вид
Л - ТГ- І в“в”"~ ¦?- О*>” ¦+ й4”ф"> х
X (ф’ т — іаАтФ) + Ф*Ф J = Л + Л. (2.3.1)
Здесь Ф —^комплексная волновая функция поля Клейна — Гордона, то0 — масса покоя бесспиновых клейн-гордо-новских частиц, Ti = /г/2л (h — планковский квант действия) и a = el he (е — электрический заряд частицы). Звездочкой обозначена соответствующая комплексно сопряженная величина.
Так как тензор электромагнитной напряженности Bmn = -4п. т — Am, п представляет собой ротор 4-потен-циала, система уравнений Максвелла с циклической перестановкой индексов
k> — Втп, h “Ь Bhjn, и Bn^t пг — 0 (2.3.2)
удовлетворяется тождественно. Система неоднородных уравнений Максвелла совпадает с соответствующими уравнениями Лагранжа в ковариантной записи [3] х):
ж-ж-(т%Ь)=0- (2'3'3>
При этом дифференцирование дает
-щ~гві3 {2,ЗЛ)
и
I^7 = [ф*ф>г_ф*. *ф_ 2іаФ*ФAi]. (2.3.5)
х) Читателю может быть интересно, пользуясь добавлением дивергенциальных членов, перестроить лагранжиан (2.3.1) так, чтобы для электромагнитного поля действовал метод Палатини (см. примечания на стр. 25 и 30), дающий наряду с уравнениями поля (2.3.6) и стандартную связь напряженности и потенциала, не задаваемую заранее (это просто сделать для свободного электромагнитного поля).—¦ Прим. перев.
