Симметрии и законы сохранения в физике - Шмутцер Э.
Скачать (прямая ссылка):
(2.1.3)
. dlQ
можно определить функцию Гамильтона (гамильтониан) H = SpQia-L. (2.1.4)
а
Уравнения Гамильтона, эквивалентные уравнениям
Лагранжа, имеют вид
дН То_ 5Pa ’
дН I дН дН \ (2.1.5)
I _ дН I дН дН \
dtSi ' dt ~ dt ) ’
56
Глава 2
Б. Канонические преобразования
Каноническое преобразование представляет собой переход
• __________________________________
Iq5 *Qi Pa, L, H —> Tq, Ta, pa, L, Н,
при котором все основные уравнения для преобразованных переменных сохраняют тот вид, которым они обладали для исходных переменных. Таким образом, вместо принципа (2.1.1) имеем
І2
б j L(xa, Tq, t)dt=0 (бїо Ita = SrQlf1 = O), (2.1.6) ti
вместо (2.1.2) —
SZ dL d / дЬ
dt \ дхс
= 0, (2.1.7)
вместо (2.1.3) —
вместо (2.1.4) —
и вместо (2.1.5) —
dlcQ
H = JIPqxq-L (2.1.9)
Q
^ = (2-1-1°)
dPQ dzQ
Производящая функция (генератор) канонического преобразования F (tq, Tq, t) определяется равенством
L = L + F. (2.1.11)
Расписывая полную производную по времени, находим
- OF г дР , 1 '- ¦
Приложения теоремы Нётер в механике и теории поля 57
и затем
dF dF — Ff и /о , ,0\
——Pa, —Pa, W • (2-1.13)
Эти последние соотношения и выражают каноническое преобразование1).
В. Бесконечно малые канонические преобразования
Бесконечно малый канонический генератор I (xq, Pq, t) вводится с помощью равенства
<2-ІЛ4>
Q
Дифференцированием получаем отсюда
в 'а
и путем сравнения с равенством д F dt
а
находим, наконец, формулы бесконечно малого канонического преобразования
= Й-И-Я.. (2.1.15)
Для краткости мы будем в дальнейшем писать 6? = ? — *а> Spa= Pa— Pa,
6L = L (?, to, t) - L (to, iQ, О = 4 S (2Л Л6)
а
На основании (2.1.15) определение (2.1.14) приводится к виду
F-I = ^iPffi та; (2.1.17)
х) Здесь рассмотрен один из многочисленных вариантов канонических преобразований. Cm. по этому поводу учебник [20] и цитируемую там литературу. О связи с квантовой механикой см. в статье Фока в приложении к книге Дирака [21].— Прим. перев.
58
Глава 2
отсюда и из (2.1.16) следует важное равенство
5л. (2.1.18)
Поэтому бесконечно малый канонический генератор I является константой движения, если L обладает такой структурой, что
SL=-^T- (2.1.19)
Подобно (2.1.16), мы определяем
Ън=н (tq, рц, t) — H (гя, Pq, if). (2.1.20)
Тогда с помощью (2.1.15) и скобок Пуассона
г л/г л ті Vl / SM dN dN дМ \ т » пл\
[^, 2 , (2.1.21)
определенных для функций M (гд, ря, t) и N (xq, Pn, 0. находим
Stf= [/, Н]Р. (2.1.22)
С другой стороны, раскрытие полной производной по времени с учетом уравнений Гамильтона (2.1.5) дает
§ = ? + Ч,Щр, (2.1.23)
откуда следует равенство
§-% + ЬН. (2.1.24)
Поэтому I есть константа движения, если гамильтониан H таков, что имеет место равенство
Stf= —— . (2.1.25)
Это равенство является аналогом в теории Гамильтона равенства (2.1.19) теории Лагранжа.
Приложения теоремы Нётер в механике и теории поля 59
Г. Теорема Нётер
Мы будем исходить из формулировки теоремы Нётер в форме (1.4.2). В применении к нерелятивистской механике определение преобразования симметрии (1.3.1) записывается в виде
^ (tQ’ Itir ’ t ) (Га’ ИГ’ 0 ~~dt ® (їя’ Та> 0» (2.1.26)
где
0 = бО + 0| (2.1.27)
[такое же разложение, как в (1.3.4)]. Учет уравнений
Лагранжа (2.1.2) дает из нётеровского тождества (1.4.2)
закон сохранения
^+ 60] = 0, (2.1.28)
?2
а из (1.4.3) —
-Ir [ S + ф- 2 too) + ®] = 0. (2.1.29)
я я
Д. Приложение к системе материальных точек
Чтобы придать рассмотренной выше теории более наглядный характер, мы воспользуемся моделью механики материальных точек, так как на этом примере можно превосходно разобраться в идеях довольно абстрактной общей теории и в особенности выяснить ее отношение к каноническим преобразованиям [3].
В этом случае функция Лагранжа записывается в виде
L = j 2 WatQ-F( I гй —тг|), (2.1.30)
Й
где та — масса материальной точки номер Q, а V — потенциальная энергия всей системы. Дифференцирование дает
OL OV
Pa = mQxa,
60
Глава 2
так что уравнение Лагранжа (2.1.2) принимает привычный вид уравнения движения
та Tq=--^-. (2.1.31)
dxQ
Прямым расчетом теперь можно показать, что бесконечно малые преобразования
Ї?2=Ї?2 + ЬІ + Ь X Xf2+ а (2.1.32)
и
t' = t + l (2.1.33)
(b, Ь, а и \ — инфинитезимальные параметры) являются
преобразованиями симметрии для функции Лагранжа
(2.1.30). Эти параметры соответствуют:
b — скорости поступательного движения, b — вращению,
а — пространственному сдвигу (трансляции),
І — сдвигу во времени.
При этом (2.1.32) соответствует преобразованию функций, а (2.1.33) — преобразованию координат теории поля. Мы имеем конкретно
L ( *>’ W- ’ *') =L (tQ’ -?- ’ 0 +4 ( S ^rpb).
Я
Из сравнения с (2.1.26) можно заключить, что
60=-JVotab, (2.1.34)
Q
так что закон сохранения (2.1.28) принимает вид
аЧТ [ 2 maT?2] + b 4t [ 2 (mGtQ) t — 2 ^qTq] +
