Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Шмутцер Э. -> "Симметрии и законы сохранения в физике" -> 10

Симметрии и законы сохранения в физике - Шмутцер Э.

Шмутцер Э. Симметрии и законы сохранения в физике — Москва, 1974. — 160 c.
Скачать (прямая ссылка): simetriiizakonisohraneniya1974.djvu
Предыдущая << 1 .. 4 5 6 7 8 9 < 10 > 11 12 13 14 15 16 .. 42 >> Следующая


“ ®-о (* = лк?)- (1-0.1)

Величины (1.4.6а) и (1.4.66) при учете (1.5.13) и (1.4.20) принимают вид

Tta = Xgta - UaaU0, t - gmn, t + V, (1 -6.2а)

0Smni а

rr=-UQaSaTmlUT-21r^—gtn, (1.6.26)

0Ernn, а

где Zta = TtaVg, причем соотношения (1.4.8) — (1.4.10) при использовании геометрических объектов, для которых Sat = 0, и учете уравнений неметрических полей (1.4.20) переходят в

{rta-ZtaI а + ± Zmngmnit =0, (1.6.3)

Ttm+ Tiam, а = 0, (1-6.4)

у/ута> = 0. (1.6.5)

Соотношение (1.4.11) выполняется тождественно, а (1.4.12) принимает вид

ГГ, т, а = 0, (1-6.6)

тогда как из (1.4.13) или (1.4.14) следует

Ttmtm = 0. (1.6.7)

Далее ввиду (1.5.13) соотношение (1.4.15) можно записать

в виде

Ха*, t-Y ZmnSmn, а = 0, (1.6.8)
34

Ґлава І

а (1.4.16) и (1.4.17) — в виде

Jtba = TtbXa+ Ttba, (1.6.9)

Jtba,b = 0. (1.6.10)

Однако положение существенно меняется при формули-

U G

ровке теоремы Нётер для лагранжевой плотности Л = Л+Л полной системы полей, где гравитационное поле представлено эйнштейновской лагранжевой плотностью; в этом

G

случае ввиду неинвариантной природы Л лагранжева плотность Л инвариантна лишь относительно линейных преобразований. Ввиду этого обстоятельства следует опираться на полное соотношение (1.4.7), откуда

ItTta, а + 1\т [ГГ + ГГ, а] = 0, (1.6.11)

так что

Tta, а = 0 (1.6.12)

И

Tta=-Ttn\ т- (1.6.13)

Две последние формулы приводят к соотношению

Ttma, т, а = 0. (1.6.14)

Вместо (1.4.16) мы имеем здесь

Jltba = TtbXa+ Tba- (1.6.15)

Для этой величины справедливо соотношение, аналогичное (1.4.17):

Jltbatb = о. (1.6.16)

Канонические комплексы энергии-импульса метрического и неметрических полей определяются следующим образом:

<"*н 4a==_ji_gmn,t-Xgta, (1.6.17)

д§тпп, а

Uu и и

<ка"' V = UQ, t + Smn1 і - Xgta. (1.6.18)

ouQiCL aSmn1Q
Непрерывные симметрии в оёщерел. класс. meopUu поля 35

Соответственно для полного поля имеем

(нан )Za = (нан)|(в + (кан)?д (1.6.19)

причем соотношение (1.4.6а) записывается теперь как

Tta= -(кан)?га, (1.6.20)

и из (1.6.12) следует

(кан)?г“,а=0. (1.6.21)

Для полноты мы приведем здесь также соотношения,

получающиеся из выведенных выше в случае

G

Л->Л.

Запишем сначала определения

ГС G cG

«?« ЭХ „ о ЬХ „

Pt —&gt ~TZ----------gmn, t Smt—

0&mnt а Уёта

Q

= -(?/» + (KanV), (1.6.22)

G °

Ttam =-2-gtn (1.6.23)

Cr G G

Jitba = TtbXa-VTtha, (1.6.24)

а затем соотношения, которым они удовлетворяют:

Tta, а= -(?га + (кан)Са).а = 0, (1.6.25)

G G

Ttm= -Ttan. а, (1.6.26)

Ttma. т, а = 0, (1.6.27)

Jtba. ь = о. (1.6.28)

Для канонического комплекса энергии-импульса метрического (гравитационного) поля, именуемого также эйнштейновским псевдотензором гравитационного поля, из
36

Глава I

(1.6.17) при подстановке (с дифференцированием) (1.5.7) следует выражение

Заметим, кроме того, что вследствие (1.6.18) соотношение (1.6.2а) может быть приведено к виду

Итак, мы привели здесь всю совокупность дифференциальных соотношений, следующих из теоремы Нётер при сделанных выше предположениях. Теперь остается дать им правильное физическое истолкование.

Прежде всего сделаем некоторые замечания по поводу симметричного тензора энергии-импульса (1.5.13). Согласно результатам, полученным Розенфельдом [6], дифференцирование по метрическому тензору и его производным удается частично выразить через дифференцирование по функциям неметрических полей и их производным. Ключевым пунктом при этом является использование свойства антисимметрии (1.6.5), имеющего место для лагранжианов первого порядка. В самом деле, используя обозначение

~{Гг}(и^-{«гИ-<айе4 (1-б-29)

(1.6.30)

и в силу (1.6.7) справедливо равенство

(1.6.31)

и

(1.6.32)

находим
Непрерывные симметрии в общерел. класс, теории поля 37

и далее, путем соответствующей перестановки индексов и комбинирования членов, получаем

Tihm = Y I^ihm + ^kim + ^mki - Otiimk - Selani - SSnik],

(1.6.33)

так что в силу (1.6.4) из (1.6.30) имеем

+ Y Igtk (SSham+S?ahm+SSmah-Stfhma-S?amh-SSmha)], т.

(1.6.34)

В частности, если для полей выполняется свойство

__ ^gikm

последнее выражение принимает простой вид:

Sta = (кан)?/а ч- [gtk<mmah], т. (і .6.35)

В частнорелятивистском случае выражение (1.6.34) тождественно совпадает с построенным ad hoc тензором Белин-фанте [7].

Дадим еще раз сводку дифференциальных законов сохранения, важных для физической интерпретации результатов. Так как мы потребовали выполнения уравнений полей, то из соотношения (1.4.2), связанного с функциональными преобразованиями, следует дифференциальный закон сохранения

[HmnaSgnn + Пйа6?Уq + 80а1, а = 0. (1.6.36)

Ввиду равенства (1.6.25) величину

Q

(полиса = + (кан)^ = + (1.6.37)

естественно назвать полным комплексом энергии-импульса полного поля, ибо для нее

(полиса а = 0< (1.6.38)
38

Глава I

Мы дали такое истолкование именно этим последним уравнениям (из всех аналогичных им, приведенных выше), так как они представляются наиболее ему отвечающими, обладая тем особым свойством, что при переходе к случаю частной теории относительности дают в точности частнорелятивистский закон сохранения энергии-импульса (в этом пределе в полном комплексе энергии-импульса гравитационная часть обращается в нуль).
Предыдущая << 1 .. 4 5 6 7 8 9 < 10 > 11 12 13 14 15 16 .. 42 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed