Симметрии и законы сохранения в физике - Шмутцер Э.
Скачать (прямая ссылка):
Непрерывные симметрии в общерел. класс, теории поля 49
подчеркнуто, что при построении комплекса энергии-импульса использовалась также инвариантная лаграиже-ва плотность. Такой подход, восходящий еще к Г. А. Лоренцу и в особенности проанализированный с некоторыми надеждами Мёллером [5], сталкивается однако с принципиальными трудностями, которых смог избегнуть эйнштейновский подход. Рассмотрим эту проблему несколько глубже, ограничиваясь островным распределением тензора энергии-импульса, когда на бесконечности метрика имеет следующее асимптотическое значение:
(gf
(1 + Ir) 8аЬ 0
0 I I
(1 г)6аь 0
0
(1.7.24)
Здесь величина р = УEliE11 обобщает понятие сферической радиальной координаты1), а величина
Ta =
XM0Ci 4 п
(1.7.25)
называется гравитационным радиусом рассматриваемой центральной массы M0. Канонический комплекс энергии-импульса гравитационного поля, построенный с помощью инвариантной лагранжевой плотности, обладает асимптотическим поведением
G
(кан)с> і
(1.7.26)
*) He следует путать \а с обозначаемым так же вектором в (1.1.1), (1.6.42) и т. д.; здесь это — всего лишь декартовы координаты точки, где берется значение метрического тензора, причем начало этой декартовой системы совпадает с центром симметрии поля.— Прим. перев.
so
Глава I
тогда как эйнштейновский комплекс ведет себя на бесконечности как
tsl~ jr. (1.7.27)
Так как при этом используемые координаты переходят на бесконечности в галилеевы координаты, асимптотическое значение элемента поверхности dfm имеет вид
dfi т id\2 d\3 df2 ~ 0, df3 «О, d/4«0
при I1=Const и т. д.; dfi ж idl1 d\*dl3, dfi'.wO, df2 « 0, df3tt О
при I4 = COnst.
Если теперь задаться такими пространственноподобными гиперповерхностями F3 и F3 (фиг. 1), чтобы на бесконечности они превращались в две параллельные гиперплоскости, разделенные конечным интервалом, то боковая (охватывающая) поверхность, которую можно определить без ограничения общности как гиперповерхность р = const, растет как квадрат р, так что интеграл (1.7.15) по этой гиперповерхности обладает асимптотикой в ковариантном случае
/3 _!_>(), (1.7.28)
а в эйнштейновском
It~±-+0. (1.7.29)
Положение существенно меняется, если рассматриваемые гиперплоскости образуют друг с другом отличный от нуля угол. Это имеет место, если обобщенный импульс подвергнуть преобразованию Лоренца. Из соображений физического смысла следует требовать, чтобы обобщенный 4-импульс, соответствующий островному распределению тензора энергии-импульса, при преобразованиях Лоренца изменялся как тензор (вектор), так как на больших расстояниях должны выполняться соотношения частной тео-
Непрерывные симметрии в общерел. класс, теории поля SI
рии относительности. Из определения (1.7.17) для преобразований Лоренца приближенно следует
где Ap = дхУда?' — коэффициенты этих преобразований. Требование, чтобы 4-импульс вел себя как истинный вектор при преобразованиях Лоренца, означает, что
Сравнивая это выражение с (1.7.16), заключаем, что интеграл здесь не должен зависеть от выбора пространственноподобной гиперповерхности. Ho, как известно, это может иметь место лишь при выполнении условия (1.7.15). Тогда, выбирая гиперповерхность интегрирования в нештрихованной системе отсчета как
а в штрихованной системе — как
V3 при ?4' = const,
находим, что ввиду конечности угла, образуемого гиперповерхностями интегрирования (которые становятся гиперплоскостями на бесконечности), высота охватывающей гиперповерхности оказывается пропорциональной ее радиусу. Вследствие этого сама охватывающая гиперповерхность, которую снова можно определить, полагая р = = const, растет теперь как р3, и в результате интересующий нас интеграл обладает асимптотикой в ковариантном случае
(ПОЛИ) п if
1 (полн)^. то' jf -J=T <4/s< Ujm' —
F3 при I4 = const,
а в эйнштейновском случае
52
Глава I
здесь dQ. — элемент телесного угла. Тем самым показано, что с точки зрения физического смысла единственно предпочтительным является эйнштейновское определение комплекса энергии-импульса х).
Вернемся теперь еще раз к вопросу, поставленному в предыдущем параграфе, а именно, следует ли строить выражение для энергии-импульса согласно (1.6.38) или согласно (1.6.44). Иными словами, какая из величин, (Iioan)P4 или (HOflH)Pij должна быть связана с полной энергией? Мы отдаем предпочтение определению, принятому в (1.7.21), по той, в частности, причине, что в принципе следует стремиться к установлению соответствия между теорией поля и механикой. Ho в механике материальной точки, как известно, энергия Ш частицы связана с кова-риантной 4-компонентой Pi импульса соотношением
% = —Cpi,
которое отвечает именно определению (1.7.21). Было бы странно в теории поля остановиться на величине, иной, чем в механике.
Проделаем поучительное упражнение — применим эйнштейновский вариант определения энергии и импульса к решению Шварцшильда с покоящейся точечной особенностью 2). При использовании координат протяженности интегралы (1.7.20) и (1.7.21) легко берутся, так как подынтегральные выражения записываются в виде дивергенций
