Симметрии и законы сохранения в физике - Шмутцер Э.
Скачать (прямая ссылка):
j ^=<nonH)S,mimd<«/= j {nom4sm,md^x V4 y4
можно придать вид поверхностного интеграла. Мы можем, конечно, избавиться от интегрирования по 4-объему, так как каждый член в этой сумме сводится к необходимому нам дифференциалу, но объединить результат таким образом, чтобы получился интеграл по замыкающей гиперповерхности, можно лишь в предположении об определенной топологической структуре координатных линий. Наша цель не может быть достигнута в сферических (полярных) координатах; для этого нужна такая система координат, в которой каждая из координатных линий дважды пересекает границу области. Назовем такие координаты координатами протяженности (Langenkoordinaten). Как правило, возможность ввести координаты протяженности реализуется лишь в предположении об островном распределении тензора энергии-импульса.
46
Глава I
В таком случае из дифференциального закона (1.7.14) по аналогии с (1.7.3) следует уравнение
j 1 (П0ЛН)?Л md<4,/ = і j _^(полн)? mdfm_
v* Vs
~1 J т7= (полн)®.т d/m + і j у = (полп)? ™ dfm = О,
Vn » б AVDriT
Уз охват.
гиперпов
предполагающее, во всяком случае, использование координат протяженности. Если к тому же интеграл по временноподобной граничной гиперповерхности равен нулю
Zs= j ^=(поин)г.т<г/т=о, (1.7.15)
охват.
гиперпов
то при предельном переходе к бесконечному трехмерному пространству будет справедливо уравнение
j -L(n0JIH)?»d/m = J^("олп)?™d/m, (1.7.16)
Vr3 Уз
и результат окажется не зависящим от конкретного выбора пространственной области. При таких предположениях имеет смысл ввести по аналогии с величиной Q (см. случай А) для полной системы полей, включая гравитационное, обобщенный 4-импулъс
(ПОЛИ)р __ J_ Г 1 (полн)? т __ J_ Г 1 (полв)^. 4 _
с J T/е с J l/S
V3 зсconst у 6
= — J j (n0BB)Zs4mx. (1.7.17)
Sc4=c0nst
И если очень сложны уже трансформационные свойства комплекса энергии-импульса, то закон преобразования обобщенного 4-импульса еще сложнее. Во всяком случае, не может быть речи о каких-либо его тензорных свойствах.
Te же рассуждения, которые были проведены в случае А, и здесь при переходе к двум бесконечно близким
Непрерывные симметрии в оёщерел. клйсс. tneopUU поля 4?
пространственноподобным гиперповерхностям дают уравнение изменения (баланса)
j (полн)^ d(3)x = _ j (пойнте уГ
d dx4
зс4—const (Уз)
(1.7.18)
если предположить конечность пространственной области интегрирования и использование в ней координат протяженности. При равенстве нулю поверхностного интеграла (что требует особого доказательства в том случае, когда имеет место процесс гравитационного излучения) отсюда следует закон сохранения
л(полн)р
= (1-7-19)
Тройка величин
(полн)^ = ± Jl (поли) dfm = _ I j (полн)^4 3^ Уз »4=const
(1.7.20)
рассматривается как 3-импульс системы, а величина
полн)^ с(полн)р _______ ________1 (полн);р. т
^y-
= j (полн)?44 d<3,x (1.7.21)
*4=COnSt
— как ее энергия в случае, когда тензор энергии-импульса обладает островным распределением.
В физике плоского пространства-времени, в частности в дорелятивистской физике, хорошо известно понятие локализуемости физических величин (массы, энергии, заряда и пр.). Под нею понимают возможность однозначно приписать любой данной точке пространства в данный момент времени определенное значение плотности соответствующей физической величины.
Иначе говоря, считается, что есть основания для следующего утверждения: в заданном объеме содержится вполне определенное количество рассматриваемой физи-
48
Глава I
ческой величины. Поскольку это утверждение органически входит в состав понятия вещества (субстанции), с этим понятием часто связывают и вышеупомянутые физические величины.
Если попытаться связать с 3-импульсом некоторую плотность импульса, то уравнение (1.7.20) приведет к величине
Jtll= -|Спол%4]/--g-f • (1-7.22)
Подобным же образом, согласно определению (1.7.21), в качестве плотности энергии следовало бы взять
и, = (полн_?м_ ' (1.7.23)
При исследовании закона преобразования этой предполагаемой плотности энергии относительно преобразований чисто пространственных координат обнаруживается, что она ведет себя не как инвариант. Ho это последнее, здесь нарушаемое свойство является основным требованием, следующим из локализуемое™ энергии. Другими словами, поскольку рассматриваемая величина ведет себя при чисто пространственных преобразованиях не как инвариант, мы получаем для нее в данной точке пространства численные значения, зависящие от случайного выбора системы координат. Такое субъективное поведение этой величины противоречит определению объективного физического фундаментального понятия.
Этот многозначительный факт был обнаружен Бауэром [8] сразу же после создания общей теории относительности и использован как возражение против эйнштейновской теории. Действительно, расчет показывает, что уже в плоском пространстве Минковского (где кривизна равна нулю) эйнштейновский комплекс энергии-импульса дает отличные от нуля величины, если применять сферические координаты. Строго говоря, нет оснований винить в этом сам эйнштейновский комплекс, так как, взяв сферические координаты, мы отошли от выражения комплекса энергии-импульса в координатах протяженности. Уже в § 5 было
