Симметрии и законы сохранения в физике - Шмутцер Э.
Скачать (прямая ссылка):
1) Поскольку величина Qa зависит от F0 ь, ее дивергенция в (1.2.8) зависит и от F0 ь с; поэтому в данном подходе, исключающем применение вторых производных в лагранжиане, нельзя включать в Qa вторые производные полевых функций. Отметим, однако, что обобщение на случай таких высших производных весьма просто.— Прим. перев.
22
Глава I
Преобразование симметрии приводит, таким образом, к форм-инвариантности лагранжевой плотности, если отвлечься от дивергенциального члена и влияния метрики.
Умножая (1.3.1) на d(4)x с учетом формулы преобразования
Jf g d(i)x = Jf g' d(i)x', получаем при интегрировании по F4
J X (Fe-, Vb-, a; xb’)d^x' =
Vi
= ^jX (Fe, F0> a, Xb) d(4> X- j Q\a #*>Х. V4 Vi
Поскольку величина Oa по предположению является векторной плотностью веса 1, последнее слагаемое по теореме Гаусса ковариантным образом переводится в интеграл по гиперповерхности, а так как на (F4), согласно принципу Гамильтона, полевые функции закреплены, мы получим х)
б f X (Fe-, F0-, хь’) d^x' = б \ X (F0, F01 а, хь) d^x = 0.
V4 Vi
Отсюда следует форм-инвариантность уравнений поля относительно преобразований симметрии:
6X(Ve,...) 6Х(Гв„...)
----і-,----= U-^--------------= и.
61 0 б F0,
В дальнейшем нас будут особенно интересовать бесконечно малые преобразования симметрии, для которых вследствие (1.1.13) из (1.3.1) вытекают соотношения
X (Fe-, F0', a', Xb') (i +Еа,а) = ^ (Fe, Fe, a, Xb)-Qa, а и, наконец,
AX-Г XIа, а — —Оа, а- (1.3.2)
х) Закрепленными на границах области интегрирования потенциалы полей будут лишь в смысле собственно варьирования, тогда как координаты на этих границах, конечно, не закреплены (иначе, например, были бы невозможны все существенные в физике преобразования, такие, как сдвиги и повороты).— Прим. перев.
Непрерывные симметрии в общерел. класс, теории поля 23
Подставляя сюда разложение (1.1.10), мы приходим к теореме Нетер в форме
Щ- 6F0 + [П0аб7е], а + -Щ (AsF0 - Fe, ™Г) +
+ [neaAsFe + Г (Xgraa -neaFe,m) + 0а], а = о. (1.3.3)
Кроме того, величину 0а можно разбить на слагаемые
относящиеся соответственно к функциональным и координатным преобразованиям, что охватывает все практически интересные случаи. Если при этом учесть тот факт, что координатные и функциональные преобразования по определению не зависят друг от друга, то мы получим два конкретных выражения теоремы Нётер:
(AsFe - F01 шГ) f In60AsFe +
+ Г (Xgma - neaF0, т) т ©5а]. а = 0. (1.3.6)
В этом разделе мы переформулируем только что выведенную теорему Нётер для частного случая, охватывающего ее физические приложения и утверждающего, что полное поле составлено из метрического поля gab и неметрических полей Uq:
0a = 6Oa + 0|a,
(1.3.4)
Щ- 6F0 f- [neu6Fe -f 60а], а = 0 (1.3.5)
и
§ J. Разложение полного поля на метрическое и неметрические поля
Fe
где
[Uq) = [U1, U%, ...,Uli).
24
Глава I
Таким образом, через N обозначается число независимых неметрических полевых функций. Так как прежде число всех вообще независимых полевых функций было принято равным N, то имеет место соотношение
N = N +10,
ибо, как известно, метрический тензор обладает десятью независимыми компонентами gab• В дальнейшем принимается, что прописные греческие индексы й, Г и Л пробегают значения от 1 до N.
Вводя естественные обозначения
Ilmna = Iх - и = (1.4.1)
Qa
перепишем конкретизированные формы теоремы Нётер
(1.3.5) и (1.3.6) в виде
Sgmn + 4~ St/я + InmnaSgm7l +
иьтп uQ
+ ППабС/п + 60а],а = О (1.4.2)
и
Ьх /А *гч ,
dgnvn ^s^mn — ^mn' ^ ~w~ (AsC/Q — CZfii г?г) +
+ [ITnnoA^mn+ ППа AsCZq + + Ir [Xgra - Hmnagmn, г -П0а U0, г + (?/)], а = о. (1.4.3)
Уравнение (1.4.2) уже имеет тот вид, который нам будет нужен в дальнейшем; второе же уравнение еще нуждается в 'преобразовании.
!Учитывая равенства (1.1.3), из законов преобразования тензоров получаем следующие соотношения для полевых функций (если последние — тензоры):
AeUm=-U#,m, AsUm = UrIm, г,
Asgmn — SVnI , тп gmrl , п>
Asgst = gr%s, г + ITsrIi, г, (1.4.4а)
&sgmn — 0, Asg = —2g|m, т, As In —I"*, т-
Непрерывные симметрии в общерел. класс, теории поля 25
Для полевых функций более общей геометрической природы бесконечно малые преобразования задаются следующим образом:
AsUq = - Sarba Urla, ь - SQala, (1.4.46)
где указанная геометрическая природа величин отражена в коэффициентах SQrba1). Коэффициент же Sqc в члене, пропорциональном |а, добавлен для наиболее общей формулировки теории 2). Известно, что таким образом преобразуются галилеевы координаты при неоднородных преобразованиях Лоренца. В случае тензора валентности 1 (вектора) сравнение с предыдущими уравнениями дает, например,
S52a = O1 Sde\=--gdbga°. (1.4.5)
Подставляя выражения (1.4.4) в (1.4.3), мы получили бы почти необозримое выражение. Поэтому введем обозначения
Tta = Xgta - Пд,г UQ, t - Wnnagmn, і -
SQTatUT-2^gmt (1.4.6а)
Ttam= -Ifa S J^lUv ^mmna gtn, (1.4.66)
]) Это фундаментальное выражение играет важную роль в описании геометрических объектов весьма широкого класса. Так, если отбросить здесь последний член, то оно описывает законы преобразования, в частности, всех тензоров и их плотностей (любого веса). Анализируя операцию дифференцирования Ли [см. формулу (1.1.4) и далее], легко распространить определение ковариантной производной с обычного вектора на тензор произвольной валентности или его плотность произвольного веса:
