Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Шмутцер Э. -> "Симметрии и законы сохранения в физике" -> 9

Симметрии и законы сохранения в физике - Шмутцер Э.

Шмутцер Э. Симметрии и законы сохранения в физике — Москва, 1974. — 160 c.
Скачать (прямая ссылка): simetriiizakonisohraneniya1974.djvu
Предыдущая << 1 .. 3 4 5 6 7 8 < 9 > 10 11 12 13 14 15 .. 42 >> Следующая


1J Обычно в физике под «материей» понимают совокупность вещества и всех полей, кроме гравитационного (поля метрического тензора), хотя последнее и обладает основными атрибутами материи в более широком понимании.— Прим. перев.
зо

Ґлава І

постоянная1). В выражении (1.5.2) использовано обозначение

{ ml } =T gh° (gam' г + gla’m - gml’ a)

для символов Кристоффеля 2).

Вычисления приводят к выводу, что уравнения (1.5.1) вытекают из (1.4.19) для двух подробно исследованных в литературе лагранжевых плотностей. Первая из них имеет вид

G і

A=—2х R (ковариантный случай). (1.5.6)

Эта лагранжева плотность совпадает со скалярной кривизной с точностью до множителя, дающего нужную размерность. Это — лагранжева плотность второго порядка, т. е. она содержит вторые производные метрического тензора и поэтому выходит за рамки нашего анализа 3).

1J Чаще ньютонову х-равитационную постоянную определяют без множителя 4я, что соответствует аналогу гауссовых единиц в электродинамике.— Прим. перев.

2) Кроме этого обозначения символов Кристоффеля, в литературе используется (и притом чаще) также обозначение T^nl.— Прим. перев.

3) Если в лагранжевой плотности (1.5.6) символы Кристоффеля не считать независимыми, то, действительно, уравнения в форме (1.4.19) оказываются непригодными, и вместо них приходится писать уравнения для лагранжиана со вторыми производными потенциала

дХ дХ / дХ \ / дХ \

Sg тп ^Brnn) а / \ dgmn, а,Ь / ,Ь, а

Однако существует и другой подход (метод Палатини, уже упомянутый нами в примечании на стр. 25), когда метрический тензор и символы Кристоффеля варьируются (собственно вариации!) независимо друг от друга. Тогда для лагранжевой плотности (1.5.6) в качестве уравнений Лагранжа получаются как уравнения Эйнир тейна (1.5.1) (варьирование по метрическому тензору gmn), так и «уравнение» для символов Кристоффеля (1.5.5) (варьирование по этим последним). В теореме Нётер, учитывающей законы преобразования полевых величин, при этом необходимо пользоваться обобщенным законом преобразования для символов Кристоффеля, указанным в примечании на стр. 25).— Прим. перев.
Йепрерывные симметрии в оёщерел. класс, теории поля 31

Подробный анализ показывает [3], что построенный с ее помощью комплекс энергии-импульса неудовлетворителен с точки зрения физики. Хотя в этом случае принцип Гамильтона записывается в общековариантном виде, что подчеркивает особо ценимую в общей теории относительности общую ковариантность, все же эта лагранжева плотность не оправдывает себя в ряде узловых пунктов, как детально было показано Мёллером [5] *).

В эйнштейновском варианте лагранжева плотность имеет вид

Индексы Qjl L использованы для того, чтобы подчеркнуть, что мы имеем дело с выражениями квадратичными и линейными соответственно по символам Кристоффеля (и их производным). Индекс D указывает на то, что речь идет о дивергенциальном выражении. Тот факт, что обе приведенные лагранжевы плотности дают одни и те же

х) Читатель должен иметь в виду, однако, что проблема энергии-импульса далеко еще не решена в общей теории относительности, и пока преждевременно выносить категорическое суждение против инвариантной лагранжевой плотности в пользу эйнштейновского лагранжиана. Cm. дальнейший анализ в этой книге и в рекомендуемой литературе, в частности [25—27]. Что касается работ [5], то последняя из них, вышедшая несколько раньше первой, была затем более подробно изложена на русском языке [25], хотя в это изложение не вошел анализ принципа простоты лагранжиана.— Прим. перев.

(1.5.7)

При этом определение исходит из следующих соотношений:

i? = (4R + (L)i? = <B)i?-(Q)i?, (1.5.8)
32

Глава I

уравнения Эйнштейна, следует из тождества (1.2.9), согласно которому *)

6((Д)ДУя) А

Rrr U>

так что

б (д Vi) 5((^Д Vi)

Конкретный расчет [3] приводит к результату: S(wWi) ,/-Гр™ 1

-Yg [Rmn-\gnnR\ . (1.5.12)

Подставляя это равенство в (1.4.19) и сравнивая с уравнениями (1.5.1), находим выражение

гртп _ 2 5Х _______ 2 бХ ,4 г і о\

- Vg Sgmn ~ y-g Sgmn для симметричного тензора энергии-импулъса.

§ О. Дифференциальные законы сохранения

Под дифференциальным законом сохранения мы понимаем выполнение уравнения непрерывности в частных производных вида

a:;m>m=o.

Особое'значение имеет использование частных, а не кова-риантных производных в связи с переходом к интегральной формулировке закона, так как, если бы вместо частной производной стояла ковариантная производная, такой переход был бы невозможен.

V

Поскольку лагранжева плотность Л неметрического поля, как уже говорилось, должна быть инвариантом (скаляром) относительно преобразований координат, для

1J Тождество (1.2.9) при данных здесь определениях неприменимо к величинам, содержащим вторые производные потенциалов; все будет вполне корректно, если вариационную производную в нем понимать согласно формуле, приведенной в примечании на стр. 25.— Прим. перев.
Непрерывные симметрии в общерел. класс, теории поля 33

нее справедливы все соотношения, выведенные в § 4. Основные из них мы выпишем здесь для этого частного случая. Так как все практически встречающиеся лагранжо-вы плотности не зависят явно от координат, для них
Предыдущая << 1 .. 3 4 5 6 7 8 < 9 > 10 11 12 13 14 15 .. 42 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed