Симметрии и законы сохранения в физике - Шмутцер Э.
Скачать (прямая ссылка):
1J Обычно в физике под «материей» понимают совокупность вещества и всех полей, кроме гравитационного (поля метрического тензора), хотя последнее и обладает основными атрибутами материи в более широком понимании.— Прим. перев.
зо
Ґлава І
постоянная1). В выражении (1.5.2) использовано обозначение
{ ml } =T gh° (gam' г + gla’m - gml’ a)
для символов Кристоффеля 2).
Вычисления приводят к выводу, что уравнения (1.5.1) вытекают из (1.4.19) для двух подробно исследованных в литературе лагранжевых плотностей. Первая из них имеет вид
G і
A=—2х R (ковариантный случай). (1.5.6)
Эта лагранжева плотность совпадает со скалярной кривизной с точностью до множителя, дающего нужную размерность. Это — лагранжева плотность второго порядка, т. е. она содержит вторые производные метрического тензора и поэтому выходит за рамки нашего анализа 3).
1J Чаще ньютонову х-равитационную постоянную определяют без множителя 4я, что соответствует аналогу гауссовых единиц в электродинамике.— Прим. перев.
2) Кроме этого обозначения символов Кристоффеля, в литературе используется (и притом чаще) также обозначение T^nl.— Прим. перев.
3) Если в лагранжевой плотности (1.5.6) символы Кристоффеля не считать независимыми, то, действительно, уравнения в форме (1.4.19) оказываются непригодными, и вместо них приходится писать уравнения для лагранжиана со вторыми производными потенциала
дХ дХ / дХ \ / дХ \
Sg тп ^Brnn) а / \ dgmn, а,Ь / ,Ь, а
Однако существует и другой подход (метод Палатини, уже упомянутый нами в примечании на стр. 25), когда метрический тензор и символы Кристоффеля варьируются (собственно вариации!) независимо друг от друга. Тогда для лагранжевой плотности (1.5.6) в качестве уравнений Лагранжа получаются как уравнения Эйнир тейна (1.5.1) (варьирование по метрическому тензору gmn), так и «уравнение» для символов Кристоффеля (1.5.5) (варьирование по этим последним). В теореме Нётер, учитывающей законы преобразования полевых величин, при этом необходимо пользоваться обобщенным законом преобразования для символов Кристоффеля, указанным в примечании на стр. 25).— Прим. перев.
Йепрерывные симметрии в оёщерел. класс, теории поля 31
Подробный анализ показывает [3], что построенный с ее помощью комплекс энергии-импульса неудовлетворителен с точки зрения физики. Хотя в этом случае принцип Гамильтона записывается в общековариантном виде, что подчеркивает особо ценимую в общей теории относительности общую ковариантность, все же эта лагранжева плотность не оправдывает себя в ряде узловых пунктов, как детально было показано Мёллером [5] *).
В эйнштейновском варианте лагранжева плотность имеет вид
Индексы Qjl L использованы для того, чтобы подчеркнуть, что мы имеем дело с выражениями квадратичными и линейными соответственно по символам Кристоффеля (и их производным). Индекс D указывает на то, что речь идет о дивергенциальном выражении. Тот факт, что обе приведенные лагранжевы плотности дают одни и те же
х) Читатель должен иметь в виду, однако, что проблема энергии-импульса далеко еще не решена в общей теории относительности, и пока преждевременно выносить категорическое суждение против инвариантной лагранжевой плотности в пользу эйнштейновского лагранжиана. Cm. дальнейший анализ в этой книге и в рекомендуемой литературе, в частности [25—27]. Что касается работ [5], то последняя из них, вышедшая несколько раньше первой, была затем более подробно изложена на русском языке [25], хотя в это изложение не вошел анализ принципа простоты лагранжиана.— Прим. перев.
(1.5.7)
При этом определение исходит из следующих соотношений:
i? = (4R + (L)i? = <B)i?-(Q)i?, (1.5.8)
32
Глава I
уравнения Эйнштейна, следует из тождества (1.2.9), согласно которому *)
6((Д)ДУя) А
Rrr U>
так что
б (д Vi) 5((^Д Vi)
Конкретный расчет [3] приводит к результату: S(wWi) ,/-Гр™ 1
-Yg [Rmn-\gnnR\ . (1.5.12)
Подставляя это равенство в (1.4.19) и сравнивая с уравнениями (1.5.1), находим выражение
гртп _ 2 5Х _______ 2 бХ ,4 г і о\
- Vg Sgmn ~ y-g Sgmn для симметричного тензора энергии-импулъса.
§ О. Дифференциальные законы сохранения
Под дифференциальным законом сохранения мы понимаем выполнение уравнения непрерывности в частных производных вида
a:;m>m=o.
Особое'значение имеет использование частных, а не кова-риантных производных в связи с переходом к интегральной формулировке закона, так как, если бы вместо частной производной стояла ковариантная производная, такой переход был бы невозможен.
V
Поскольку лагранжева плотность Л неметрического поля, как уже говорилось, должна быть инвариантом (скаляром) относительно преобразований координат, для
1J Тождество (1.2.9) при данных здесь определениях неприменимо к величинам, содержащим вторые производные потенциалов; все будет вполне корректно, если вариационную производную в нем понимать согласно формуле, приведенной в примечании на стр. 25.— Прим. перев.
Непрерывные симметрии в общерел. класс, теории поля 33
нее справедливы все соотношения, выведенные в § 4. Основные из них мы выпишем здесь для этого частного случая. Так как все практически встречающиеся лагранжо-вы плотности не зависят явно от координат, для них
