Симметрии и законы сохранения в физике - Шмутцер Э.
Скачать (прямая ссылка):
Ua; a = UQ, a-WГ
Этим, конечно, применения закона (1.4.46) не исчерпываются.— Прим. перев.
2) Для более общей записи теории естественно предположить также наличие в инфинитезимальном законе преобразования типа (1.4.46) члена, пропорционального 6lC. Так преобразуется, например, связность (символы Кристоффеля), если рассматривать ее независимо от метрического тензора, что характерно для принципа Гамильтона в формулировке Палатини.— Прим. перев.
26
Глава I
при которых (1.4.3) принимает вид
It [ {Tta + Ogta + -щ SaTatUr +
. о „ I 6JS? „
‘ Xa °mt Г л Kff Smn, t '
^Sma J > а vgmn
ЬХ тт с дХ с -1
-щЬа1] +
+ Iі. т[ГГ +Qgtm-TlanSat +
+ ГГ,а] + 1*,т,аГГа) = 0. (1.4.7)
Здесь круглые скобки у индексов обозначают взятие симметричной части величины по этим индексам (симметри-зующие скобки Баха). Вследствие независимости и произвольности Ei и их производных отсюда следует
{Tta + Ogta -nQaSat + SftUr + 2 gmtJ a-
g„„r-4^(?, . + ?, )-0, (1-4.8)
Ttn + Ogtm -UamSat + Ttam. a = o, (1.4.9) rtima> = 0. (1.4.10)
Дифференцирование (1.4.6а) и (1.4.10) дает соответственно
0’*+(тт) -W-sU-MT-Sotta = O (1.4.11)
' дхt /явн OUq auQ, а
И
ГГ. т. а= 0. (1.4.12)
Далее, при дифференцировании (1.4.9) и учете (1.4.12) получаем
(Ttm + Ogtm-IfmSat), т = 0. (1.4.13)
Исключая из системы (1.4.11) и (1.4.13) величину Olt, находим
т. і дХ \ , 8Х q п и /. \/,\
Непрерывные симметрии в общерел. класс, теории поля 27
Наконец, из (1.4.8) и (1.4.13) следует результат
¦щ {Uafi +Ssu) = 0. (1.4.15)
G учетом определения
Jftba = [Tb - S06Sat + Ggtb) ха + Ttba
(1.4.16)
уравнению (1.4.12) можно придать интересную форму:
Этими соотношениями исчерпывается содержание нёте-ровского тождества (1.4.3). Здесь особенно важны соотношения (1.4.13) и (1.4.17), так как они имеют вид дифференциальных законов сохранения в частных (а не кова-риантных) дивергенциях. Соотношения такого типа называют сильными законами сохранения, так как равенство нулю частных дивергенций следует в них исключительно в силу свойств симметрии лагранжиана. В противоположность этому соотношение (1.4.8) имеет характер так называемого слабого закона сохранения, ибо здесь дивер-генциальное выражение обращается в нуль лишь вследствие выполнения уравнений поля, т. е. при равенстве нулю вариационных производных лагранжиана. Вообще говоря, физический смысл имеют именно слабые законы сохранения *).
Отметим, наконец, что величины Ttnm носят название суперпотенциалов, так как из них, согласно соотношению (1.4.9), путем дифференцирования следуют величины Ttm, связанные, как покажет дальнейшее фїізическое рассмотрение, с комплексом энергии-импульса.
Теперь целесообразно произвести еще разбиение ла-гранжевых плотностей и соответственно функций Лагран-
*) Итак, под слабыми соотношениями понимают такие, которые выполняются лишь при учете уравнений поля (наряду со свойствами инвариантности); в отличие от сильных соотношений, отражающих только свойства инвариантности конструкций типа лагранжианов, слабые соотношения, очевидно, насыщены и физическим содержанием.— Прим. перев.
Jftbatb = O.
(1.4.17)
28
Глава I
жа на чисто гравитационную (метрическую) часть и неметрический остаток:
GU GU
Л = Л + Л и Х = Х + Х, (1.4.18)
при этом
G G r_ U U
X = ^Vg и X = AVg.
Пусть введенные функции имеют следующую структуру: G G
A = A(gmni gmn, а> % )> и и
A = A (Uq, UQt at ётпт Smn, Ь> % )•
При этих предположениях из (1.2.7) следуют уравнения метрического поля
G G
8Х дХ / дХ \ __ дХ / дХ \ .
^Smn ®8тпп \ дётпп, а / > а dgmn \ dgmn, a I ¦ а
+ W^-=° (1-4.19)
дётпп ' dgmn, а / • о
и уравнения неметрических полей
UU и
Ьх ЬХ дХ /
SC/q ЙС/й о
(wf-.)..-0- (1-4-20*
Естественно разбить (1.2.4) на две части:
Ya = Ya+ Ya, (1.4.21)
где
и
Ya = -^YlmnaSgmn VS
Ya = -4= Пйаб?/ Q. (1.4.22)
У?
Так как эти части не зависят друг от друга, мы распространим на каждую из них наше требование тензорности, если примем за основу общековариантную формулировку прин-
Непрерывные симметрии в общерел. класс, теории поля 29
ципа Гамильтона. Поскольку лагранжевы плотности
и
имеющих физический смысл полей А сами являются инвариантами относительно преобразований координат, наше
и
требование автоматически удовлетворяется для Ya. Что же
G
касается Ya, то здесь требуется специальное рассмотрение.
§ 5. Эйнштейновские уравнения гравитационного поля
Общая запись уравнений гравитационного (метрического) поля представлена в (1.4.19) в форме уравнений Лагранжа. Возникает вопрос: совпадают ли эти уравнения
с известными уравнениями Эйнштейна
Rhl — ShlR = X-Thb (1.5.1)
Здесь
{ml fml f a "I fmI fal I ml
Am}, і [klJ,[kmI {aZj {aZJ IamJ (1‘5,2^
— тензор Риччи,
R = Rmm (1.5.3)
— инвариант кривизны (скалярная кривизна), Thl — симметричный тензор энергии-импульса материи 1J и
х = ^L = 2,08-IO-48 г"1 см"1 с2 (1.5.4)
— эйнштейновская гравитационная постоянная. В последней формуле с = 3-1010 см-с-1 — скорость света в вакууме, yN = 4я-6,67'10“8 см3г-1с-2 — ньютонова гравитационная
