Вероятность - Ширяев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
чтобы последовательность случайных величин 1 из Lp сходилась в среднем
порядка р^1 к случайной величине, принадлежащей Lp, необходимо и
достаточно, чтобы эта последовательность была фундаментальной в среднем
порядка р.
Доказательство. Необходимость следует из неравенства Минковского. Пусть
{§"} - фундаментальна (!?" - lmlp-^О, п, т-*--у со). Как и в
доказательстве теоремы 5, выберем подпоследовательность {1П1} такую, что
где ? - некоторая случай-
ная величина с ЦН^рСсо.
Положим пг= 1 и по. индукции выберем пц, как то наименьшее /г для
которого при всех s^s п, t^n
?||р = 0=>Н = 0.
(23)
Обозначим
§ 10 РАЗНЫЕ виды сходимости 277
Тогда в силу неравенства Чебышева
м1Ч+1-Ц/
2 ьг
Р (А") < - kt\r ~ = 2-*'<2-\
Так же как в теореме 5, отсюда выводится, что существует такая случайная
величина ?, что
Выведем отсюда, что |?" - ?|р->-0, сю. С этой целью зафиксируем е>0 и
выберем N - N(e) таким, что [||" - |т||р< <е для всех n^N, m^N. Тогда для
любого фиксированного n^N в силу леммы Фату
М | \rt- \ |р = М | lim |S"-?"jP| = M/lim
- ¦: | |л - к = JiEL II - lnk fp - :: в.
К
Следовательно, М 1- ? [р -> 0, п -> с". Ясно также, что поскольку '? = (?
- ?") + !"> то в силу неравенства Минковского М|||р<оо.
Теорема доказана.
Замечание 1. В соответствии с терминологией функционал ыюго анализа
полные нормированные линейные пространства называются банаховскими
пространствами. Таким образом, пространства Lp, pSsl, являются
банаховскими.
Замечание 2. Если 0<р<1, то ||?[!р = (М | ? |р)1/р не удовлетворяет
неравенству треугольника (22) и, следовательно, не является нормой. Тем
не менее пространства (классов эквивалентности) Lp, 0<р<1, являются
полными относительно метрики d (?, г)) == М | Е, - т) \р.
Замечание 3. Обозначим Lco = Lco(0, aF, Р) пространство (классов
эквивалентности) случайных величин | = ?(со), для которых |5||сс<оо, где
величина ||?|!ет, называемая существенным супремумом определяется
формулой
III [1от == css sup ||| = inf {0 < с < со: Р (| g | > с) = 0}.
Функция | • (от является нормой, и относительно этой нормы
пространство L является полным.
6. Задачи.
1. Используя теорему 5, показать, что в теоремах 3 и 4 из § 6 сходимость
почти наверное может быть заменена сходимостью по вероятности.
2. Доказать, что пространство LOT полно.
3. Показать, что если ?" -- ? и в то же время то ?
и г) эквивалентны (Р (| Ф rj) = 0).
278 ГЛ II. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
4. Пусть ?л-^?, т|л -* т] и случайные величины ? и г] экви-
валентны. Показать, что для любого е>0
р{ |?" - Л/г I ^ е}-> 0, п -> оо.
5. Пусть ?л-^<?, т]л -- т]. Показать, что я?л -f- бтр, + Ьц (а, b -
постоянные), | \п | I \ 1" 1пЧп X grj.
6. Пусть (?л--?)2-^*0. Показать, что ?л-^.?2.
7. Показать, что если ?Л-^С, где С ~ постоянная, то имеет
место и сходимость по вероятности:
1п-^С=$1п^С.
8. Пусть последовательность (?л}л>1 такова, что для некото-
СО
рого р>0 ^ М|?л[р<оо. Показать, что Ел^>-0 (Р-п. и.).
П= 1
9. Пусть {?"}" j. 1 - последовательность независимых одинаково
распределенных случайных величин. Доказать, что
СО СО
М | | < со <=> ^ Р {| ^ j > е ¦ п} < со <=> ^ Р{| |>е}<сю=>
71=1 /1=1
:=} --- 0 (Р-П. II.).
ti v '
10. Пусть {?л}л> 1 - некоторая последовательность случайных величин.
Предположим, что существуют случайная величина 8 и подпоследовательность
{л*} такие, что (Р-п. н.) и
max \li - tn |^-0 (Р-п. н.) при k^-co. Показать, что
nk-i<l<nk '
тогда ?"-"-? (Р-п. н.).
11. Определим d-метрику во множестве случайных величин, полагая
U' Ю Mi+|E-ril
и отождествляя случайные величины, совпадающие почти наверное. Показать,
что сходимость по вероятности эквивалентна сходимости в d-метрике.
12. Показать, что не существует метрики во множестве случайных величин
такой, что сходимость в ней эквивалентна сходимости почти наверное.
§ 11. ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
279
§ 11. Гильбертово пространство случайных величин
с конечным вторым моментом
1. Среди банаховских пространств Lp, p^l, рассмотренных выше, особо
важную роль играет пространство L2 = L2(Q, aF, Р) - пространство (классов
эквивалентных) случайных величин с конечным вторым моментом.
Если g, T}eL2, то положим
(I, г]) = М ?л- П)
Ясно, что для I, г),
(al + bi\, ?,) = а(t, ?) + &(rj, ?), a, b<=R,
a,
и
(I, ?) = 0=>? = 0.
Тем самым (?, ri) является скалярным произведением. Относительно нормы
Ш = (?, Ю1/2> (2)
индуцируемой этим скалярным произведением, пространство L2 (как было
показано в § 10) является полным. Поэтому в соот-bctci вии с
терминологией функционального анализа пространство с введенным скалярным
произведением (1) является гильбертовым пространством случайных величин
(с конечным вторым моментом).
Методы гильбертова пространства широко используются в теории вероятностей
при исследовании свойств, определяемых лишь первыми двумя моментами
рассматриваемых случайных величин ("Е2-теория"), В этой связи остановимся
на основных понятиях и фактах, необходимых для изложения /Атеории (гл.
