Вероятность - Ширяев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Но
P(4*) = limP/ (J АЛ
п \4 > л /
поэтому утверждение а) является результатом следующей цепочки импликаций:
0 = Р {со: En74g} = P/U Л8\<=>р( U А^А = 0<=>
\е > 0 / \tn - 1 /
<=>Р(Л1/'п) = 0, 1 <=>Р(Ле) = 0, е>0<=>
<=>Р ( М Л"Л-*0, п->- оо <=> Р (sup I ift - ? I 5a e) -vO, tt->oo.
\k^n j k^n
CO
b) Обозначим Б|л = {со: \lk-h\Sse}, BE = f| |J BekJ.
П = I 4 3: Я />Я
Тогда {со: {?"(<")}"> i не фундаментальна] =* (J Ве, и так же,
? >о
как в а), показывается, что Р {со: {%п{<А)}п-^\ не фундаментальна) = =
0<=>!6), Эквивалентность же утверждений (6) и (7) следует из очевидных
неравенств
SHp I \n+k Ьп I SUP I ?/Г-Ь& ¦ ?я+/1 ' 7: 2 Slip J \rt\k Ъп I*
0 0 * - 0 / 3
Теорема доказана.
Следствие. Поскольку
P{sup|?*-?|^e}=P(U ? Р{!ё/;-с|^1,
^ ^ /г 1% n J к /г
то выполнен!.е для каждого е>0 условия
со
2 Р{|Ъ-?|^}<оо (8)
k = \
достаточно для сходимости ?" --5;
В связи с условием (8) уместно сейчас отметить, что положенные при его
выводе рассуждения позволяют установить следующий простой, но важный
результат, являющийся основным средством при исследовании свойств,
выполняющихся с вероятностью единица.
Пусть Аг, А2, -некоторая последовательность событий из
eF. Напомним (см. taбл. в § 1), что через {Л"б.ч.} обозначается событие
lim А", состоящее в том, что произойдет бесконечно много событий из Alt
А2,
§ 10 РАЗНЫЕ виды сходимости 271
Лемма Бореля -Кантелли. a) Если ?Р(Л")<со, то Р{Лпб.ч.} = 0.
b) Если ? Р (Ля) = со и события Аъ Л2( ... независимы, то Р [Ап б.ч.} =
1.
Доказательство, а) По определению
{Л" б. ч} = fim А" = р [J Аь.
/lass I
Поэтому
Р{ЛП б. ч.} = р(П U лД= Hm р f {J ? Р(Л*),
\п = 1 к Дъ п J \k^n ) k^5п
откуда и следует утверждение а).
Ь) Если события Л 1( Л2, ... независимы, то таковыми же будут и
события Л1, А2, .... Тогда для любого N^n
р(п л)=ПР№>.
' k = п j k= п
откуда нетрудно вывести, что
/ СО Ч со
р( П / -11 рш- (9)
k -п j k-n
В силу неравенства log (1 - x)sg - х, Osgx<l,
ОЭ СО СО
log П [1-Р(Л,)]=^ log [1 - Р (Л*)] "с - 2 Р (ЛА) - - со.
k = n k=n k~n
Следовательно, для любого п
Р(П *)-<>
\/е=л /
н, значит, Р(Л"б. ч.) = 1.
Лемма доказана.
Следствие 1. Если Лл = {со: \\п - ?|sge}, то условие (8)
СО
означает, что Р (Ля) < схэ, е > 0, и по лемме Бореля - Кан-
п- 1______________________________________
телли Р(Ле) = 0, е>0, где Ле = ПтЛя. Тем самым
2 Р Ша - ? | 5s е} < со, е > 0 => Р (Ле) = О,
е > 0 <=> Р {со: ?л^?) = 0,
что уже отмечалось выше.
272 ГЛ II. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Следствие 2. Пусть {en}n^i - последовательность положительных чисел
таких, что е" | 0, п-*- оо. Тогда, если
I] P{|?"-g[Sse"}<oo, (10)
П = 1
ТО 1п^1.
В самом деле, пусть Л" = {[?" - ?[ ^ е"}. Тогда по лемме Бореля -
Кантелли Р (Ап б. ч.) = 0. А это означает, что для почти каждого
исхода oefi найдется такое N = N(a>), что для
nSsN (со) 11" (со) - I (со) | е". Но еп | 0, поэтому (со) 1
(со)
для почти всех мей.
4. Теорема 2. Имеют место следующие импликации:
(11)
р >0, (12)
(13)
Доказательство. Утверждение (11) следует из сравнения определения
сходимости по вероятности с критерием (5), а импликация (12) -из
неравенства Чебышева.
Для доказательства (13) пусть |/(х)1сс, е>0 и JV таково, что Р (| g | >
N) Се/4с. Выберем б таким, чтобы для всех j х | sg N и |х -p|sg6 было
выполнено неравенство |/ (х) - / (у) \ sS е/4с. Тогда (ср. с
доказательством теоремы Вейерштрасса в п. 5 § 5 гл. I)
М|/(?Я)-Ш| = М(|/(Б")-Ш + М(|/(|я)-/(|) 4-М(|/(?")-/(?)
sc6, |?|^ЛГ)4-|^fi, |||>У) + >6)=s5
^e/2 + e/2 + 2cP{|g"-g|>6} = e + 2cP {(?"-?[>6f.
Ho P {| - ? | > 6} ->~0, поэтому для достаточно больших п
М I/(?л) " / (I)! 2е, что в силу произвольности е>0 доказы-
вает импликацию (13).
Теорема доказана.
Приведем ряд примеров, показывающих, в частности, что в (11), (12)
обратные импликации, вообще говоря, несправедливы.
Пример 1. (?л -?4>|л -Пусть Q = = [0, 1], aF = e58([0, 1]), Р -мера
Лебега. Положим
А1п = -^j, In = IAi (со), i=l,2, ..., л; я5=1.
Тогда последовательность случайных величин
§ 10 I ОНЫЕ виды сходимости 273
сходится и по вероятности, и в среднем порядка р> 0, но не сходится ни в
одной точке сое[0, 1].
Пример 2. (g" - g, р>о). Снова пусть
Q = [0, 1J, aF = S3 ([0, 1]), Р - мера Лебега и
( ея, С<со<1/",
^ И = 1 о ^ ,,
( 0, со >" 1/п.
Тогда последовательность {g"} сходится с вероятностью единица (и,
следовательно, по вероятности) к нулю, однако для любого
р> 0
епР
М\1п\р = - ->ОО, п-^ со.
Пример 3. (g" g). Пусть { g"} - последователь-
ность независимых случайных величин с
P(g"=l) = p", P(g" = 0)=l-p".
Тогда нетрудно установить, что
g"^0op"^>-0, п >-со, (14)
g,,-^* 0 о р"0, п-*-оо, (15)
СО
?л^0о2]рп<со. (16)
я=1
В частности, при рп=1/п g" ^ 0 для любого р > 0, но g" -yi 0.
В следующей теореме выделяется один интересный случай, когда из
сходимости почти наверное следует сходимость в смысле ZA Теорема 3. Пусть
{\п\ - последовательность неотрицательных случайных величин таких, что g"
-g и Mg -у Mg < оо. Тогда
