Вероятность - Ширяев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
условию (16), называют марковской цепью со счетным множеством состояний
Е, с матрицами переходных вероятностей {pk (х, у)} и начальным
распределением вероятностей я. (Ср. с определением в § 12 гл. I.)
4. Задачи.
1. Пусть Q=[0, 1], cF -класс борелевских множеств на [0, 1], Р -мера
Лебега на [0, 1]. Показать, что пространство (Q, aF, Р) является
универсальным в том смысле, что для любой функции распределения F (х) на
(П, aF, Р) можно так определить случайную величину | = !(со), что ее
функция распределения F^ (х) - = Р(|=^х) совпадает с функцией F (х).
(Указание. | (со) = =F_1(co), 0<со<1, где F-1 (со) = sup {х\ ?(х)<со},
когда 0< < со< 1, а 1(0), |(1) могут быть взяты произвольными.)
2. Проверить согласованность семейств распределений в следствиях к
теоремам 1 и 2.
3. Вывести утверждение следствия 2 к теореме 2 из теоремы 1.
§ ЮГ Разные виды сходимости последовательностей случайных величин
1. Как и в математическом анализе, в теории вероятностей приходится
иметь дело с разными видами сходимости случайных величин. Ниже будут
рассмотрены следующие основные виды схо-
268 ГЛ II МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
дпмости: по вероятности, с вероятностью единица, в среднем порядка р, по
распределению.
Начнем с определений. Пусть |, |lt |2, ... - случайные величины, заданные
на некотором вероятностном пространстве (Q, eF, Р).
Определение 1. Последовательность случайных величин In |2, ... называется
сходящейся по вероятности к случайной величине | (обозначение: |я i |),
если для любого е > О
Р{ !1"-е| >е}-^0, п >¦ со. (1)
С этим видом сходимости мы уже встречались в связи с законом больших
чисел в схеме Бернулли, утверждающему, что
(см. обозначения в § 5 гл. I). В анализе этот вид сходимости принято
называть сходимостью по мере.
Определение 2. Последовательность случайных величин In |2, • • •
называется сходящейся с вероятностью единица (почти наверное, почти
всюду) к случайной величине |, если
Р {со: |"74|} = 0, (2)
т. е. если множество исходов со, для которых |" (со) не сходятся к |(со),
имеет нулевую вероятность.
Этот вид сходимости обозначают следующим образом: |п-"-1 (Р-п. н.), или
|Я-2Ц |, или |"~~|.
Определение 3. Последовательность случайных величин In |2, ... называется
сходящейся в среднем порядка р, 0<р<со, к случайной величине |, если
М 11" - | |р 0, л ->¦ со. (3)
В анализе этот вид сходимости называют сходимостью в смысле
D Г?
L . В этой связи (3) обычно записывают в виде |" --1. В частном случае р
= 2 эту сходимость называют также сходимостью в среднем квадратическом и
пишут | = 1. i.m.|" (1. i. m. - сокращение от limit in mean - сходимость
в среднем).
Определение 4. Последовательность случайных величин In ¦ •. называется
сходящейся по распределению к случайной величине | (обозначение: |"-^*|),
если для любой ограниченной непрерывной функции f = f(x)
Щ(Ъп)-+Щ{1), п-+ оо. (4)
Наименование этого вида сходимости объясняется тем, что, как будет
показано в § 1 гл. III условие (4) эквивалентно сходимб-сти функций
распределения F| (х) к функции распределения
S 10 РАЗНЫЕ ВИДЫ СХОДИМОСТИ
269
/ч (я) в каждой точке х, где функция (х) непрерывна. Эту сходимость
обозначают => F
Подчеркнем, что сходимость по распределению случайных величин
определяется только в терминах сходимости их функций распределения.
Поэтому об этом виде сходимости имеет смысл говорить и тогда, когда
случайные величины заданы на разных вероятностных пространствах. Этот вид
сходимости будет подробно изучаться в гл. III, где, в частности, будет
объяснено, почему в определении сходимости F^n=^F% требуется сходимость
лишь в точках непрерывности функции РДх), а не для всех х.
2. В математическом анализе для решения вопроса о сходимости (в том или
ином смысле) заданной последовательности функций оказывается полезным
понятие фундаментальной последовательности, или последовательности Коши.
Введем аналогичные понятия для первых трех рассмотренных видов сходимости
последовательностей случайных величин.
Будем говорить, что последовательность случайных величин {\п\п^ 1
фундаментальна по вероятности, с вероятностью единица п в среднем порядка
р, 0 < р < сю, если выполнены соответственно следующие условия: для
любого е>0 Р{|?л - tm\<
<е}->0, п, т-*- оо, последовательность {?л (<">)}"> i фундаментальна
для почти всех шей, последовательность функций
1ья(ю)}/гэ= I фундаментальна в смысле Lp, т. е. М | - \т f-> 0,
п, т-> со.
3. Теорема I. а) Для того чтобы (Р-п. н.), необхо-
димо и достаточно, чтобы для любого е > 0
Р /sup - ? j el ->¦ 0, n-"-oo. (5)
b) Последовательность {?я}п5= i фундаментальна с вероятностью единица
тогда и только тогда, когда для любого е > 0
Р { sup I i* - (-SS е} -^ 0, оо, (6)
k^n
f$sn
или, что эквивалентно,
P{sup |?л+* -?л|2ге}-*0, п ->¦ оо. (7)
Доказательство, а) Пусть = ||л - ?|3=е}, Аг =
= ПтЛл== р| (J А%. Тогда
П = 1 k^n
СО
{со: L¦/>!}= (J Де= U AVm'
е>0 т = \
270 ГЛ. II. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИЙ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
