Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Ширяев А.Н. -> "Вероятность" -> 92

Вероятность - Ширяев А.Н.

Ширяев А.Н. Вероятность — МГУ, 1957. — 581 c.
Скачать (прямая ссылка): veroyatnost1957.pdf
Предыдущая << 1 .. 86 87 88 89 90 91 < 92 > 93 94 95 96 97 98 .. 179 >> Следующая

задач оказывается не очень удобным. Дело в том, что если трактовать т]г
как значение случайной последовательности (%, ,.., т]п) в момент времени
i, то построенное выше значение Рг сказывается зависящим не только от
"прошлого" (rij, т],), но и от "будущего" (т]г+1, т]п). Приводи-
мый ниже процесс ортогонализации Грама - Шмидта не страдает этим
недостатком, более того, он обладает тем преимуществом, что может быть
применен к бесконечным последовательностям линейно независимых случайных
величин (т, е. последовательностям, у которых любое конечное число
величин является линейно независимыми).
Пусть rjj, г|2, ... - последовательность линейно независимых случайных
величин из L2. Построим по индукции последовательность Bj, е2, ...
следующим образом. Пусть ех - ^ ¦, Если
Bj, ..., уже выбраны так, что они ортонормированы, то
положим
где цп есть проекция т)" на линейное многообразие X (elf ... ..., е,^),
порожденное величинами rj], ...,
П- 1
Цп - ^11 (Ля* (^2)
*= I
Поскольку величины %, ..., Ля линейно независимы и
X (%, i)n-i} = X(e1, ..., En-i), то I Цп - Цп || > 0 и, следо-
вательно, е" определено.
По построению \&п J = 1, n;ss 1, и ясно, что (e", eft) = 0, k<?n. Тем
самым последовательность е1, е2, является ортонормированной. При этом,
согласно (11),
Цп - Цп Т" ^я^я*
где Ъп = [| цп - х\п I, а цп определяется формулой (12).
Пусть теперь щ, ..., ^" - произвольная система случайных величин (не
обязательно линейно независимых). Пусть det R = О, где R == j rtJ-1 -
матрица ковариаций вектора (тц, ,,, , rj"), и пусть
rang R = /¦<".
Тогда, как известно из алгебры, квадратичная форма
П
Q(a) = 2 r^afij, а = (аи ап),
", /=1
284 ГЛ II МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
такова, что существует ровно п - г линейно независимых векторов ай),...,
таких, что Q (а^) = 0, (=1,..., п - г,
Но
Q (а) = М ( 2 я*1!*) .
Следовательно, с вероятностью единица
П
4°Ла = °. / = 1.........п~г.)
k=i
Иначе говоря, существует ровно п - г линейных соотношений между
величинами тр, ... , т)". Поэтому, если, скажем, тр, ... , тр линейно
независимы, то все остальные величины тр+1, ..., тр линейно через них
выражаются и, значит, <5?(тр, ..., тр) = = X (т)!, ..., тр). Отсюда ясно,
что с помощью процесса орто-гонализации можно найти г ортонормированных
случайных величин elt .... sr таких, что все тр, ..., тр линейно через
них выражаются и X (тр, ..., г]п) = бб(е1, ..., б,.).
5. Пусть тр, т)2, .... - последовательность случайных величин из ZA
Будем обозначать через j? = <5?(rp, тр, ...) линейное многообразие,
порожденное величинами тр, тр, ... , т. е. совокупность
П
случайных величин вида а,тр, "5^1, at^R. Через X -
_ 1 = 1 = X (тр, т)2, ...) обозначим замкнутое линейное многообразие,
порожденное тр, тр, ... , т. е. совокупность случайных величин из X и их
пределов в среднеквадратическом смысле.
Говорят, что система случайных величин тр, тр,... образует счетный
ортонормированный базис (иначе - полную ортонорми-рованную систему) в L2,
если:
a) Ли Лг> ... -ортонормированная система,
b)^(Л1, Ла- • •¦) = Г2.
Гильбертово пространство со счетным ортонормированным базисом называют
сепарабельным.
В силу условия Ь) для любого ^ eL2 и заданного б >¦ О найдутся такие аи
... , ап, что
tl
||1-1]а/Л<|<Б.
г=1
Тогда, согласно (3),
§ 11 ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 285
и, следовательно, для сепарабельных гильбертовых пространств L2 любой
элемент ? представим в виде
СО
1 = 2 (?> "Пг) • Иг. (13)
i - 1
точнее,
? = 1. i. ш. 2](?> 11/) Пг-
i = i
Отсюда и из (3) тогда заключаем, что имеет место следующее равенство
Парсеваля:
СО
?'12= ЦК?, пг)!2, ge=ZA (И)
"=•!
Нетрудно доказать, что верно и обратное: если гц, т|2, ...- некоторая
ортонормированная система и выполнено любое из условий (13) или (14), то
эта система является'базисом.
Приведем примеры сепарабельных гильбертовых пространств и их базисов.
Пример 1. Пусть Q. - R, dF - S3(R) и Р - гауссовская мера
а 1 Р ( - со, а\ = \ ф (х) dx, ф (х) = -г- е-х'Г*.
У 2л
dx
Сб( 1'зчим D = ~ и введем функции
нп{х)=( ^^{Х) , 0. (15)
Нетрудно найти, что
Dtp (х) =- хф (х),
D24> (х) = (х2 - 1) ф (х), ,16)
П3ф (х) = (Зх - х3) ф (х),
Отсюда следует, что Нп (х) являются полиномами (называемыми полиномами
Эрмита). Из (15), (16) находим, что
Я0(х)-1,
Н1 (х) = х,
Я2 (х) = х2 - 1,
Я3 (х) = х3 - Зх,
286 Г Л II МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕН
Простой подсчет показывает, что
00
(Нт, Нп)=* $ Hm(x)Hn(x)dP =
-00
00
= $ Нт (х) Нп (х) ф (х) dx = ti\bmni
где Ьтп - символ Кронекера (0, если тфп, и 1, если т = п). Поэтому, если
положить
НпН Vn "
hn (х) ¦¦
то система этих нормированных полиномов Эрмита {hn(x)}n^o будет
ортонормированной системой. Из функционального анализа известно, что если
00
lim \ eclxP (dx) < со, (17)
еЮ-оо
то система функций {1, х, х2, ...} является плотной в L2, т. е. любая
функция ! = ?(*) из L2 может быть представлена или в виде
П
2 а"гр (*), гДе f\i(x) - xi, или в виде их пределов (в среднеквад-
Предыдущая << 1 .. 86 87 88 89 90 91 < 92 > 93 94 95 96 97 98 .. 179 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed