Вероятность - Ширяев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
= Р (l^h(y))=\ fl(x)dx. (19)
- СО
Согласно задаче (15) из § 6 *0/)
в
\ h(x)dx= $ h (h (z))h' iz)dz
(20)
- CO
CO -CO
и, значит,
h (y) = h(h(y))h' (y).
(2!)
Если u1), a т] = е?, то из (22) находим, что
(22) и М*/) =
(23)
где М = ет.
§ 8 СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. II.
255
Распределение вероятностей с плотностью (23) называется логарифмически
нормальным.
Если функция ф = ф(*) не является строго возрастающей или строго
убывающей, то формула (22) неприменима. Однако для многих приложений
вполне достаточно следующее ее обобщение.
Пусть функция ф = ф(я) определена на множестве [fl*> М>
причем на каждом открытом интервале Ik - {ak, by) является непрерывно
дифференцируемой либо строго возрастающей, либо строго убывающей,
ц>'(х)^=0 при x^Ik. Пусть hk - hk (у) - обратная функция к ф(я), x<^lk.
Тогда имеет место следующее обобщение формулы (22):
где Dk - область определения функции hk (у).
Так, например, если ц = ?2, то, беря( 1Х = (-¦ со, 0), /а = (0, со),
находим, что h1(y) =- У у, h2(y) = У у, и, значит,
Заметим, что этот результат следует также из (18), поскольку Р (§ = - Уу)
= 0. В частности, если ?/~(c)^*(0, 1), то
4. Обратимся теперь к функциям от многих случайных величин.
Если ? и г) - случайные величины с совместным распределением F%л (х, у),
а ф = ф (х, у) - некоторая борелевская функция, то для ? = ф (|, г])
сразу получаем, что
П
п
/г, (у) = 21 h (л* ШIА* (у) I; !ok (у),
(24)
/г, ("/)== 2
. 0,
ШУу)+Н(-Уу)], у>о,
(25)'
(26)
(28)
(27)
Fi(z)= S dPto(x, у).
(29)
{х, у; у(х, у)
256 ГЛ II МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Например, если ср(х, у) - х-\-у, а | и р независимы (и, значит, F-;1l(x,
у) = F^(x) ¦ F^iy)), то, применяя теорему Фубини, получим
F: (г) = \ dFt (х) ¦ dFn (у) =
[х, у х+у^г}
= \1{х y)dFi(x)dF1](y) =
R2
СО /СО А со
= 5 dF|(-0 S /{t +г/<г> (-V, ^)dFT1(y)i= 5 (г - х) dF% (х) (30)
- О- иЗ ) -ОО
и аналогично
со
Ft(z)= \ F^z-i^dF^y). (31)
- Си
Если F и G - две функции распределения, то функцию
СО
Н {z)= ^ F (г - х) dG (х)
- СО
принято обозначать FtG и называть сверткой F и G.
Таким образом, функция распределения FЕ суммы двух независимых случайных
величин ^ и i] есть свертка их функций распределения Fi и Ел:
Fl = F^F4.
Ясно при этом, что F^ * Ел = Ел * F^.
Предположим теперь, что независимые случайные величины ? и г} имеют
плотности и /у,. Тогда из (31), снова применяя теорему Фубини, найдем,
что
F?(z)= $ $ f\(u)du
-СО -СО
/л ((/) ^ =
$ hiu-У) du f л ((/) dy ==- J J h{u-y)f4{y)dy
- ОО L- СО
- СО 1-00
откуда
Ыг) = S h(z-y)R(y)dy,
du,
(32)
и аналогично
Ы2) = $ fr](z-x)fl(x)dx. (33)
- 00
Рассмотрим несколько примеров на применение этих формул.
§ Э СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ II,
257
Пусть ?lt |2, -последовательность независимых одина-
ково распределенных случайных величин с равномерной на [-1, 1] плотностью
Пусть теперь erf), r)~(c)^~(/n2, а||). Если обо-
значить
Таким образом, сумма двух независимых гауссовских случайных величин снова
есть гауссовская случайная величина со средним + и дисперсией af + ^a-
Пусть ?lt -независимые случайные величины, каждая
из которых нормально распределена с нулевым средним и единичной
дисперсией. Тогда, используя (26), нетрудно (по индукции) найти, что
Тогда из (32) находим
Л.+6. + 5.МН 0==S|x]==Sl,
О, |jc|>3,
и вообще (по индукции)
О,
\х\> п.
то
и из (32) легко находим, что
258 ГЛ. II. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Обычно величина If+ ... + !" обозначается %%, а ее распределение (с
плотностью (32)) называется %2-распределением (хи-квадрат распределением)
с п степенями свободы (ср. с табл. 2 в § 3). Если обозначить %" = + Vу?п.
то из (28) и (34) следует, что
Распределение вероятностей с такой плотностью принято называть %-
распределением (хи-распределением) с п степенями свободы.
Пусть снова | и т] - независимые случайные величины с плотностями h и /п.
Тогда
независимые гауссовские случайные величины с нулевыми средними и
дисперсиями ст2>0, и используя (35), найдем, что
пределение называется t-распределением или распределением Стыо-дента с п
степенями свободы (ср. с табл. 2 в § 3). Заметим, что это распределение
не зависит от о.
5. Задачи.
1. Проверить справедливость формул (9), (10), (24), (27), (28), (34)-
(38).
М*)= 2Л/2Г("/2)' Х^0,
(35)
, 0, х<0.
х<0.
Fin (г) = И h (*) А1 (У)dx dtJ>
{х, у. ад<г}
Е|/л(2)= $$ fl(x)fr](y)dxdtj.
Отсюда нетрудно получить, что
СО
со
(36)
и
со
/|"= $ h{zy)fn(y)\y\dy-
(37)
Т] -со
Полагая в (37) | = Е0 и -
Величина
обычно обозначается через t, а ее рас-
§ 8 СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ II, 259
2. Пусть ёх, ё", пЗг2, - независимые одинаково распределенные
случайные величины с функцией распределения F (х) (и плотностью f(x),
если таковая существует) и | = max(gx,?"), | - min(?х, ?"), р = 1 - ?.
Показать, что
p. r fa у) = / ^))л " (У) ~ р W)"" У > *"
( п (п - 1) [р (у) - р (х)]л-2 f (х) f (у), у>х,
" 7 ^7 ) (У* (T/В71 U <3 X
n(n-l)[F (y)-F(x)]"-*f(x)ny),
О, У<х,
/|( I (х> У)
