Вероятность - Ширяев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Р"(Л,х...хЛ") =
= $ P1{d.al) ^ Р (со,; da2)... jj Р (со,, ..., со"_,; da"), (13)
\ Аг К
А, <= efi, n^S 1.
Тогда на (Q, сF) существуют единственная вероятностная мера Р такая, что
для любого 11Z ¦ 1
Р {оо: со,еЛ" ..., со"<= А"} = Р"(А1х...хА"), (10)
и случайная последовательность X = (X, (со), Х2 (со), ...) такая, что Р
{со: Х,(со) (= А1..., Х"(со) (= А"} = Р"(А1Х..ГХА"), (11)
где Ai^S,.
Доказательство. Первый шаг в доказательстве состоит в установлении того,
что для каждого n > 1 функцию множеств Рп, заданную на прямоугольниках
Л,х...хЛ" с помощью равенства (9), можно продолжить на о-алгебру aF,
(х)... (х) aF".
§ 9 ПОСТРОЕНИЕ ПРОЦЕССА
2G5
С этой целью для каждого и В е 0 ...(2, JF п положим
Нетрудно видеть, что для В = Л1х...хЛ" правая часть в (12) совпадает с
правой частью в (9). Кроме того, для п - 2, так же как и в теореме 8 § 6,
устанавливается, что Р2 является мерой. Отсюда по индукции легко
устанавливается, что Рп являются мерами для произвольного п 5=2.
Следующий шаг в доказательстве такой же, как и в теореме Колмогорова о
продолжении меры в (7?°°, & (R^)) (теорема 3 § 3). А именно, для всякого
цилиндрического множества Jn (В) = = {coeQ: (о)1( ..., со")едВ}, В е
(х)... (g) определим
функцию множеств Р с помощью равенства
Используя (12) и то обстоятельство, что Р((c)j, ..., toA; •) являются
мерами, нетрудно установить, что определение (13) корректно в том смысле,
что значение Р (Jn(B)) не зависит от способа представления
цилиндрического множества.
Отсюда вытекает, что функция множеств Р, определенная в (13) для
цилиндрических множеств и, очевидным образом, на алгебре, содержащей все
цилиндрические множества, является на этой алгебре конечно-аддитивной
мерой. Остается проверить се счетную аддитивность на этой алгебре и затем
воспользоваться теоремой Каршеодорп.
В теореме 3 § 3 осуществление указанной проверки основывалось на том
свойстве пространств (Rn, S3(Rn)), что для каждого борелевского множества
В можно .найти компакт А <= В, вероятностная мера которого сколь угодно
близка к мере множества В. В рассматриваемом случае этот момент
доказательства видоизменяется следующим образом.
Пусть, как и в теореме 3 § 3, {В"}л>1-последовательность цилиндрических
множеств
х 5 /вк, С0Л)Р("1, Ь>п-1, d(Oa).
Р (Ja(B)) = Pn(B).
(13)
Вл = {со: (сщ, ..., ю") еВл),
убывающих к пустому множеству 0, но
lim Р(В")>0.
(14)
Из (12) для п > 1
р (?")= S
266 ГЛ. II. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
где
f'n'(^l) = 5 P(w,; <Ро2)... $ /вя(й>1, an)P(ti>2. <¦•) an-l, d(0n).
й2 ЙЯ
Поскольку Рл+, - Вп, го Рл+, - ВпFПлг1 и, значит, /лл_г, (^i* •
,.., соЛ+1) < 1Вп (со,, ..., сол) /йп+, (со"+1). Поэтому
последовательность функций {/"' ((c),)}"> 1 является убывающей. Пусть /(1)
(со,) =" "= lim (со,). Тогда по теореме о мажорируемой сходимости
П
lim Р (Вп) = lim $ fnl> (со,) Р, (d<o,) = $ /Р (со,) Р, (dco,).
л л й, й.
По предположению lim Р (Рл) >¦ 0. Отсюда следует, что найдется
П
такое со, ей, что /(1) (со)') > 0, поскольку, если точка со, ф В,, то
/л'(со,) = 0 для "всех nSsl.
Далее, для п >¦ 2
/"'((r)i)= $ fn (со2)Р(со); dco2), (15)
?2а
где
/" (а>2)= $Р((r)ь со2; с/со3)...
Q
... jj /цл (ш 1, со-?, •••> co")P(coi, со.,, ..., со"_" dco").
Йя
Как и в случае последовательности {/Д' (со,)}, устанавливается, что
последовательность {/" ' (со,)} является убывающей. Пусть /(2)(Со2) = lim
fn' (со2). Тогда из (15) следует, что
п~* со
0<Р>(со)) = $ (ьх2) Р (C*l, dcо2),
?23
и найдется такая точка со? е П2, что /(2) (со)) >¦ 0. При этом (со,,
со2)еВг, Продолжая указанный процесс, получим, что для любого п найдется
точка (со,, ..., сол) е Вп. Следовательно, точка (со}, сол, ...) е П б,"
но в то же время, по предположению, П Вп = ф. Полученное противоречие
показывает, что lim Р (Вп) = 0.
П
Итак, утверждение теоремы в части, касающейся существования вероятностной
меры Р, доказано. Заключительная часть очевидным образом следует из
предыдущей, если положить Хп (со) = = С0Л, п 1.
Следствие 1. Пусть (Еп, Sn)n>i - произвольные измеримые пространства и
(Рл)л> i - вероятностные меры на них. Тогда суще-
§ 10 РАЗНЫЕ виды сходимости 2б7
ствуют вероятностное пространство (Q, aF, Р) и семейство независимых
случайных элементов Хи Х2, ... со значениями в (Еи ёг), (Е2, Шг), ...,
соответственно такие, что
Р {со: Хп (со) еб} = /)" (В), В<=Шп, я S& 1;
Следствие 2. Пусть ? = {1, 2, ...}, {рк(х; у)} - семейство
неотрицательных функций, k^\, х, у е ?, таких, что
2 Рь (*: У) = 1. х^Е, k^\. Пусть, кроме того, я = я(х) ?
распределение вероятностей на Е(я(х);згО, ^ я(х) = 1).
х^Е
Тогда существуют вероятностное пространство (П, aF, Р) и семейство
случайных величин X = {?", ...} на нем такие, что
^ {^0 *0, {=1 " ) • • • > = 1
= я (Х0) (Х0, (*"_!, *") ( 1 6)
1ср. с (1.12.4)) для всех л,е? и В качестве Q можно
взять пространство
Q = {co: со = (xq, хи ...), х(е?}.
Последовательность случайных величин X = {?", |1; ...}, удовлетворяющих
