Вероятность - Ширяев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
что
ь
$ X dFi {х) м (S I а < I <= Ъ) = Т?Б(Ь)-(а)
(предполагается, что (b) - /Д (а) > 0).
5. Пусть g = g(x) - выпуклая книзу борелевская функция и
со. Показать, что для условных математических ожиданий справедливо
неравенство Иенсена
?(М(Е|"?))<М&(?)]"?).
6. Показать, что случайная величина ? и ст-алгебра & независимы (т. е.
для любого случайные величины ? и I в (со) независимы) тогда и только
тогда, когда для каждой борелевской функции g(x) с M|g(?)|<oo M(g(?)|^) =
Mg(?).
§ 8. Случайные величины. 11
1. В первой главе были введены такие характеристики простых случайных
величин, как дисперсия, ковариация и коэффициент -корреляции.
Соответствующим образом эти понятия вводятся и в ебщем случае. А именно,
пусть (Q, aF, Р)- вероятностное пространство и | = ? (со) - случайная
величина, для которой определено математическое сжидание М?.
Дисперсией случайной величины ? называется величина
D| = M(| -М?)2.
Величина а = + |АЭЕ называется стандартным отклонением.
Если | -случайная величина с гауссовской (нормальной) плотностью
_ (х-т)>
h -е 2°2 " а>°> -ооСтСсо, (1)
V 2л о
5 8 СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ II,
249
то смысл параметров т и а, входящих в (1), оказывается очень простым:
Таким образом, распределение вероятностей этой случайной величины Е,
называемой гауссовской, или нормально распределенной, полностью
определяется ее средним значением т и дисперсией а2. (В этой связи
понятна часто используемая для этого запись: l~Qyr(m, о2).)
Пусть теперь (Е, г]) -пара случайных величин. Их ковариацией называется
величина
•(предполагается, что математическое ожидание определено).
Если cov(|, т|) = 0, то говорят, что случайные величины ? и ц не
коррелированы.
Если D|>0, Dr|>0, то величина
называется коэффициентом корреляции случайных величин Е и г).
Свойства дисперсии, ковариации и коэффициента корреляции для простых
случайных величин были изложены в § 4 гл. 1. В общем случае эти свойства
формулируются совершенно аналогичным образом.
Пусть ? = (§!, .... !:")- случайный вектор, компоненты которого имеют
конечный второй момент. Назовем матрицей ковариации (ковариационной
матрицей) вектора ? матрицу (порядка пхп) Ik = ,1 RtJ-1, где Rij = cov
(E;, ?/). Ясно, что матрица |R является симметрической. Кроме того, она
неотрицательно определена, т. е.
Следующая лемма показывает, что справедлив и обратный результат.
Лемма. Для того чтобы матрица IR порядка пхп была ковариационной матрицей
некоторого вектора ? = (?,, ..., Е"), необходимо и достаточно, чтобы эта
матрица была симметрической и неотрицательно определенной, или, чую
эквивалентно,
tn = ME, o2 = D?.
cov (I, n) = M (? - Mg) (r) - Мц)
(2)
(3)
П
для любых X^R, i=l, ..., n, поскольку
П
П
к i
ГЛ. II МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
существовала бы матрица А (порядка nxk, ] sxkscn) такая, что
где * -символ транспонирования.
Доказательство. Как показано выше, всякая ковариационная матрица является
симметрической и неотрицательно определенной.
Обратно, пусть [R - такая матрица. Из теории матриц известно, что для
всякой симметрической неотрицательно определенной матрицы [R можно найти
такую ортогональную матрицу (c) (т. е. (c)(c)* = Е - единичная матрица), что
- диагональная матрица с неотрицательными элементами dh i = = !, .... п.
Отсюда следует, что
где В - диагональная матрица с элементами = j/d], t=l, ...
..., п. Поэтому, если положить А-(c)В, то для матрицы R получим требуемое
представление К = ЛЛ*.
Ясно, что всякая матрица АА* является симметрической и неотрицательно
определенной. Поэтому осталось лишь показать, что R является
ковариационной матрицей некоторого случайного вектора.
Пусть тц, т)2, ..., т)п - последовательность независимых нормально
распределенных случайных величин, (c)^°(0, 1). (Существование такой
последовательности вытекает, например, из следствия 1 к теореме 1 § 9 и,
в сущности, может быть легко выведено из теоремы 2 § 3). Тогда случайный
вектор ? = Лц (векторы рассматриваются как векторы-столбцы) обладает
требуемым свойством. Действительно,
= М (Лт)) (Лт])* = Л • Мт]т]* • А* = АЕА* = А А*.
(Если ^ = 1 | - матрица, элементами которой являются случайные величины,
то под понимается матрица 11ВД.
Лемма доказана.
Обратимся теперь к двумерной гауссовской (нормальной) плотности
к = лл*.
(c)*R(c) = D,
где
R - (c)D(c)* - ((c)B) (В*(c)*),
§ 8 СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. II.
251
характеризуемой пятью параметрами щ, т2, au a2 и р (ср. с (3.14)),
где Imjcoo, | т2 \ < со, > 0, о2>0, |р|<1. Простой под-
счет раскрывает смысл этих параметров:
т1 = MS, = DS,
m2 = Mt], = Drj,
P = P(S. Л)-
В § 4 гл. I было объяснено, что если величины % и г) не кор-релированы (р
(|, г|) == 0), то отсюда еще не вытекает, что они независимы. Однако если
пара (Н, т)) - гауссовская, то из некоррелированности \ и 1] следует, что
они независимы.
В самом деле, если в (4) р = 0, то
_ (*- mty _ (у- тга /*.(*.*)= 20? 201 *
Но в силу (6.55) и (4)
оо _ (*-'тйя
h (х) = f hn (х> у) dy = е 2ai >
