Вероятность - Ширяев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
множествами.
Пусть т = [*!, ...,Л]> ^<^<...<^я. Тогда, согласно тео-реме 2 из § 3, в
пространстве (Rn, M{Rn)) можно построить и и притом единственную
вероятностную меру Рх такую, что
Px{(ti>tv ..., ?о^): ..., ^tn^xn] = Fti...in(x1, хп). (4)
Из условий согласованности (2) вытекает, что семейство {РД также является
согласованным (см. (3.20)). Согласно теореме 4 из § 3 на пространстве
(RT, S3 (RT)) существует вероятностная мера Р такая, что
Р{со: (?о^, ..., о",л)еВ} = Р,(В)
для всякого набора т = [^, ..., f"], •<...•<?".
Отсюда следует также, что выполнено условие (4). Таким образом, в
качестве искомого случайного процесса X = {?Дю)}*е т можно взять процесс,
определенный следующим образом:
&(?0) = 0)Л <еГ. (5)
Теорема доказана.
Замечание 1. Построенное вероятностное пространство (.RT, S3(RT), Р)
часто называют каноническим, а задание случайного процесса равенством (5)
- координатным способом построения процесса.
Замечание 2. Пусть (Еа, ёа) - полные сепарабельные метрические
пространства, сс принадлежит произвольному множеству индексов 2(. Пусть
{Рх} - набор согласованных конечномерных функций распределения Рх, т =
[а1, ..., ал] на (Еа1Х.. .ХЕап, ^ах (r) (r) %а")- Тогда существуют
вероятностное пространство
(Q, aF, Р) и семейство aF/йа-измеримых функций (Ха (со))аея[ такие, что
Р{(Хар ..., Хап)^В)=Рх{В)
для любых т = [а1, ..., а"] и BeSaig...(r) Шап-
Этот результат, обобщающий утверждение теоремы 1, следует из теоремы 4 §
3, если положить П = ]^[ Еа, аF - j (r) J &а и Ха(со) -
a a
= coa для каждого <й = (<йа), a е 81.
Следствие 1. Пусть F1(x), F2(x), ... - последовательность одномерных
функций распределения. Тогда существуют вероят-
§ 9 ПОСТРОЕНИЕ ПРОЦЕССА 233
ностное пространство (Q, aF, Р) и последовательность независимых
случайных величин |г, |2, ... такие, что
Р{(о: li((o)s^x} =Fi(x). (6)
В частности, существует вероятностное пространство (Q, аF, Р), на котором
определена бесконечная последовательность бернул-лиевских случайных
величин (в этой связи см. п. 2 § 5 гл, I). Отметим, что в качестве Q
можно здесь взять пространство
Q = {(o: со = (flj, а2, ...), а, = 0,1}
(ср. также с теоремой 2).
Для доказательства следствия достаточно положитьF\ п (лу, .."
..., xn) = Fl(x1)...Fn(xn) и применить теорему 1.
Следствие 2. Пусть Т - [0, сю) и {р (s, х\ t, В)} -семейство
неотрицательных функций, определенных для s, / еГ, t^>s, х е R, В е (Д) и
удовлетворяющих следующим условиям:
a) р (s, х; t, В) является при фиксированных s, х и i вероятностной мерой
по В;
b) при фиксированных s, t и В p(s, х\ t, В) является боре-левской
функцией по х\
c) для всех Os^s<^<t и B(=FB(R) выполняется уравнение Колмогорова -
Чэпмена
p(s, х\ т, В)= \p(s, х; t, dy)p(t, у, т, В). (7)
R
И пусть я = я (В) - вероятностная мера на (R, <?ft(R)). Тогда существуют
вероятностное пространство (Q, aF, Р) и случайный процесс X = {h}t^ о на
нем такие, что для 0 = t0 < tx <... < tn,
^ 7 Xq, E/j * 7 лу, ..., : . xnJ
xu xi xn
- [ я (с/г/о) 5 P do! ^i> dyi)... ^ p Уп-ъ tn> dyn). (8)
-CO -CO -CO
Так построенный процесс X называется марковским процессом с начальным
распределением я и системой переходных вероятностей |p(s, х; t, B)i.
Следствие 3. Пусть Т = {0, 1, 2, ...} и {Pk(х; В)} - семейство
неотрицательных функций, определенных для k 5=1, x^R, Bt=33(R) и таких,
что функция pk(x\ В) есть вероятностная мера по В (при фиксированных
k и х) и измерима по х (при
фиксированных k и В). Пусть, кроме того, я = я (В) - вероятностная
мера на (R, <K3(R)).
Тогда можно построить вероятностное пространство (П, sF, Р) с семейством
случайных величин Х = {10, (у, ...} на нем таких,
264 ГЛ II. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
ЧТО
P{?o=S=*o. ?i=S=*i> •••} =
*0 *1 хп
= $ n(dijo) $ Рг(Уо: dtjj}... $ Рп(Уп-il dyn).
-со -СО -00
3. В соответствии со следствием 1 существует последовательность
независимых случайных величин ?,, L,, одномерные функции распределения
которых есть соответственно Flt F2, ...
Пусть теперь (EL, St), (Е2, Ш2), ... - полные сепарабельные метрические
пространства и Р" Р2, ... - вероятностные меры на них. Тогда из замечания
2 следует, что существует вероятностное пространство (П, aF, Р) и
последовательность независимых элементов Хъ Х0, ... таких, что X" - eF/S
"-измеримы, и Р (Х"е=В) = Рп(В), BhE".
Оказывается, что этот результат остается справедливым и в тем случае,
когда пространства (Е", &") являются произвольными измеримыми
пространствами.
Теорема 2 (теорема Ионеску -Тулчи о продолжении меры и существовании
случайной последовательности). Пусть (Q", aF"), п = ], 2, ..., -
произвольные измеримые пространства и Q =
= ] [ Q", eF = | х , 27п. Предположим, что на (?2" aF,) задана
вероятностная мера Р, и для каждого набора (со,, ..., со,,) е eQ,X...xQ",
и 1, на (й"+1, -fn+1) заданы вероятностные меры Р1щ, ..., со,;-). Будем
предполагать, что Р (со,, ..., со,,; В) для каждого В = cF"+1 являются
бэрглеоскиш функциями от (со,, ... ..., со,,), и пусть
