Вероятность - Ширяев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
8. Развитая выше теория условных математических ожиданий позволяет
дать обобщение теоремы Байеса, находящей применения в статистике.
Напомним, что если ^Г = {Л1, ..., Ап] - некоторое разбиение пространства
Q с Р(Л;)>0, то теорема Байеса (1.3.9) утверждает, что для всякого В с
Р(В)>0
Р(Л,-; В)= -пР{А'дР(В Мг) (25)
2 Р(Л,)Р(В;Л,)
/ = 1
п
Поэтому, если 0=2 л. - дискретная случайная величина, то, I = I '
согласно (1.8.10),
2 g (ai) Р (Лр Р (В j л,-)
М[?(6)|В]=^ , (26)
2 Р (Л,) р (В I Л/)
/=1
ИЛИ
со
$ g (а) Р (В | 0 = a) Pq (da)
М[?(6)|Д]=^---------------------------. (27)
] Р(В|б = а;, Ре (da)
- СО
Основываясь на данном в начале этого параграфа определении M[g(6) | Д],
нетрудно установить, что формула (27) остается справедливой для любого
события В с Р (В) 3> 0, случайных величин 0 и функций g - g(a) с М J^(0)
j < оо.
§ 7 УСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ И ОЖИДАНИЯ 245
Рассмотрим теперь аналог формулы (27) для условных математических
ожиданий 19] относительно некоторой ст-алгебры S',
S s gF.
Пусть
Q(B)= $?(0)P(dco), (28)
В
Тогда в силу (4)
Mfe(0)|^]=-§-(">). (29)
Наряду с ст-алгсброй S рассмотрим ст-алгебру Sg. Тогда, согласно (5),
Р(В)= \P(B\Sg)dP (39)
Й
ил ! по формуле замены переменных под знаком интеграла Лебега
со
Р(В)= 5 Р (В ] 0 = а) Р0 (da). (31)
- со
Псскольку
Q (В) = М [g (0) IB] = М [g (0) • М (In IШ
ТО
со
Q (В) = \ g(a)P (В \ 0 =а)Рд (da). (32)
- СО
Предположим теперь, что условные вероятности Р(В|0=а) являются
регулярными и допускают представление
Р(В|0=а)= ^р(со; а) к (da), (33)
в
где р = р (х\ а) - неотрицательная измеримая по паре переменных функция,
а а -некоторая о-кснечная мера на (Й, S).
Пусть М 1^(0) | < эо. Покажем, что (Р-п. н.)
СО
5 gH)P((r), ч) Р0 yda)
М [g (0) | S] = (34)
j Р ((r), a) Рд (da)
- СО
(обобщенная теорема Байеса).
Для доказательства (34) нам понадобится следующая Лемма. Пусть (й, JF) -
некоторое измеримое пространство.
а) Пусть р и k-a-конечные меры, у к и / = /(со) - aF-измеримая
функция. Тогда
[fdy^^f^-dk (35)
а а
246 ГЛ. П. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
(в том смысле, что если существует один из интегралов, то существует и
второй, и они совпадают).
Ь) Если v - мера со знаком и ц, X - о-конечные меры, v ц, ц X, то
то (35) очевидным образом выполнено для всякой простой функции / = Общий
случай следует из представления/ = /+ - /-
и теоремы о монотонной сходимости.
откуда в силу произвольности множества А и свойства I (§ 6) следует (36).
Свойство (37) вытекает из (36) и того замечания, что
правую часть в (37) можно определить произвольно, например, положить
равной нулю). Лемма доказана.
Для доказательства (34) заметим, что в силу теоремы Фубини и
предположения (33)
(36)
и
(37)
Доказательство, а) Поскольку
ц(Л)= J [%)dX,
А
А А
Тогда v<^X и, значит,
А
СО
0(В)= \ \ g(a) 9(Х\ а) Р0 (da) X (dx),
(38)
В L- со
со
Р(В)= $ $ р(х; а) Ре (da) X(dx),
(39)
В *-- со
§ 7. УСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ И ОЖИДАНИЯ 247
Тогда в силу леммы
dQ/dX ,р ,
dP dP/dk ( ^
что с учетом (38), (39) и (29) дает формулу (34).
Замечание. Формула (34) остается справедливой, если вместо случайной
величины 0 рассмотреть случайный элемент со значениями в некотором
измеримом пространстве (Е, Ш) (с заменой интеграла по R интегралом по Е).
Остановимся на некоторых частных случаях формулы (34). Пусть ст-алгебра &
порождается случайной величиной \,& = Предположим, что
Р (g е= А (0 = а) = \q (х; а) X (dx), (R), (40)
А
где q = q(x; а) -некоторая неотрицательная измеримая по паре переменных
функция, а к - некоторая ст-конечная мера на (Я, (/?)). Тогда из
формулы замены переменных под знаком
интеграла Лебега и (34) находим, что
со
j g(a)q (х; a) PQ (da)
M[gr(0)|g = *]=-^ . (41)
j q (x\ a) Pq (da)
-OO
Пусть, в частности, (0, g) -пара дискретных случайных величин, 0 = ХаДлг.
? = Тогда, выбирая в качестве к считаю-
щую меру (А,({л:г}) = 1, г'=1, 2, ...) из (40), получим
X]g(a,-)P (S = */| 0=аг)Р(0 = аг) м 1м (0) 11 - Xj] 2]P(g = X/|e =
a,)P(0 = a,) ' (42)
(Ср. с (26).)
Пусть теперь (0, g) -пара абсолютно непрерывных величин с плотностью
fe,i(a, х). Тогда в силу (19) представление (40) выполнено с q(x\
a)=fiie(x\a) и мерой Лебега к. Поэтому
00
j g(a)f^lo(x\a)fe(a)da
Mfe(0)[? = *]=^---------------------------. (43)
j fl | e (¦* I a) /0 (a)
-CO
9. Задачи.
1. Пусть | и т] - независимые одинаково распределенные случайные
величины и Mg определено. Показать, что
M(g|g + rj) = M(r]|g + r])=i±^ (п. н.).
248 ГЛ II. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
2. Пусть ?г, g2, ... - независимые одинаково распределенные случайные
величины с М | | < оо. Показать, что
М(|х| Sn, S"n, ••¦)=- (п. н.),
Где S" - + ••• "Ф ?л-
3. Предположим, что случайные элементы (X, Y) таковы, что существует
регулярнее распределение Р-х (В) = Р (Y ^ В ] X = х). Пока'зать, что если
M|g(X, У)|<;оо, то Рх-п. н.
M[g(X, У)[Х = *]= $g(*, у) Рх (dy).
4. Пусть | -случайная величина с функцией распределения Fi(x). Показать,
