Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Ширяев А.Н. -> "Вероятность" -> 79

Вероятность - Ширяев А.Н.

Ширяев А.Н. Вероятность — МГУ, 1957. — 581 c.
Скачать (прямая ссылка): veroyatnost1957.pdf
Предыдущая << 1 .. 73 74 75 76 77 78 < 79 > 80 81 82 83 84 85 .. 179 >> Следующая

условной вероятности события {|=сг} относительно Пусть {г,} -
множество всех рациональных чисел
на R. Если ri<Tj, то в силу свойства В* Р 1 ?¦)
(п. н.) и, значит, если Л,у = {со: Frj (со) < Fr. (со)}, А = U А/, то Р
(Л) = 0. Иначе говоря, множество тех со, где у функций распределений
Fr(со), г <= {г/, нарушается монотонность, имеет меру нуль.
СО
Пусть теперь Bt = /со: lim F \ (со) фРг. (со)1, В = (J Вг,
1 гс -> со ri 4" л ^ J 1 = 1
Ясно, что It А ^п_>_00- Поэтому, согласно утвер-
ждению а) теоремы 2, F \ (со) ->¦ Fr. (со) (п. н.) и, значит, мно-
^.¦'Г - *
* п
жество В, где нарушается непрерывность справа (по рациональным числам),
также имеет меру нуль, Р(В) = 0.
Далее, пусть С = (со: lim Fn (со) Ф 1} (J {со: lim F" ( со) >01.
\ п -> со п ->-со j
Тогда, поскольку {?=gn}f?2, п->-со, а {?^п}|0, п->-со, то Р (С) = 0.
Положим теперь
( lim Fr (со), со ф A (J В (J С,
F(со; х) = <
lG(x), сое Л UB U С,
где G (х) - произвольная функция распределения на R, и покажем, что
функция F(со; х) удовлетворяет определению 6.
Пусть o)<?A(JB[JC\ Тогда ясно, что F (со; х) является неубывающей
функцией от х. Если х<х' ^г, то F(co; x)^F(со; х')^ ^ F (со; г) = Fr (со)
| F (со, х), когда г \ х. Поэтому F(со; х) непрерывна справа. Аналогично
lim F (со; х) = \, lim F(со; х) = 0.
X -* со х -* - со
Поскольку для coeAUBLIC В (со; x) = G (х), то для каждого со е Q В (со;
х) является функцией распределения на R, т. е. выполнено условие а) в
определении 6.
Согласно конструкции Р (?^r)|^)(co) = Fr(co) = F(co; г). Если г \ х, то
для всех сое Q F (со; г) \ F (со; х) в силу установленной непрерывности
справа. Но из утверждения а) теоремы 2 Р(|< г | &) (со)-"- Р (?*^*| <&)
(со) (п. н.). Поэтому F(co; х) = Р (? ^ eSx|^)(co) (п. н.), что и
доказывает свойство Ь) определения 6.
Обратимся теперь к доказательству существования регулярного условного
распределения | относительно
§ 7. УСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ И ОЖИДАНИЯ
243
Пусть F (&);¦ х) - построенная выше функция. Положим
Q(со; В) = \F(cо; dx), в
где интеграл понимается как интеграл Лебега- Стилтьеса, из свойств
которого (см. п. 7 § 6) вытекает, что Q(со; В) является мерой по В для
каждого фиксированного coeQ. Для установления того, что Q (со; В) есть
вариант условной вероятности Р (| е ей \S)((S), воспользуемся принципом
подходящих множеств.
Пусть ^ - совокупность множеств В из S3(R), для которых Q(В) = Р (| е В |
^)(со) (п. н.). Поскольку F (to; x) = P(gs^ sg; х j <#) (со) (п. н.), то
в систему & входят множества В вида В = (- оо, х], х е R. Значит, в г€
входят также все интервалы вида (а, Ь] и алгебра оЛ, состоящая из
конечных сумм непересекающихся множеств вида (а, Ь\ Тогда из свойства
непрерывности меры Q(со; В) (со- фиксировано) и утверждения Ь) теоремы 2
следует, что W является монотонным классом, и поскольку s s *€ <=<?ft(R),
то из теоремы 1 § 2
S3{R) = o (sO ? О (W) = jx (&) = & = a(r) (/?),
откуда c? - S3 (R).
Теорема доказана
С помощью несложных топологических рассмотрений утверждение теоремы 4 о
существовании регулярного условного распределения можно распространить на
случайные элементы со значениями в так называемых борелевских
пространствах. Дадим соот ветствующее
Определение 7. Измеримое пространство (Е, Ш) называется борелевским
пространством, если оно борелевски эквивалентно некоторому борелевскому
подмножеству числовой прямой, т. е. существует взаимно однозначное
отображение ф = ф (е): (Е, Ш) -> ->(R, S3 (R)) такое, что:
1) ф (Е) ={ф (<?): ^е?) есть некоторое множество из S3 (Я);
2) ф -^-измеримо (ф_1(4)е1, А <= ф (Е) П S3 (R)),
3) ф'1 - S3 (R)/?-измеримо (ф (В) е ф (Е) П S3 (R), В <=Ш).
Теорема 5. Пусть X = X (со) - случайный элемент со значениями в
борелевском пространстве (Е, Ш). Тогда существует регулярное условное
распределение X относительно S.
Доказательство. Пусть ф = ф(е)-функция из определения 7. В силу 2) из
этого определения ф(Х(со)) является случайной величиной. Поэтому по
теореме 4 определено условное распределение Q (со; А) случайной величины
ф(Х(со)) относительно S', А е ф (Е) П S3 (R).
Введем функцию Q (со; B)=Q(со; ф (В)), В^Ш. В силу 3) определения 7 ф (В)
е ф (Е) f) S3 (R) и, следовательно, Q (со; В)
244 ГЛ. II. математические основания теории вероятностей
определено. Понятно, что при каждом со Q(co; В) является мерой по В СЕ:
Ш, Зафиксируем теперь Bel. В силу взаимной однозначности отображения ф =
ф (е)
Q (со; B)=Q( со; ф (В)) = Р {ф (X) е ф (В) | Р{Х е В [ S} (п. н.).
Таким образом, Q (со; В) является регулярным условным распределением X
относительно &.
Теорема доказана.
Следствие. Пусть X = X (со) -случайный элемент со значениями в полном
сепарабельном метрическом пространстве (Е, ?). Тогда существует
регулярное условное распределение X относительно S. В частности, такое
распределение существует в случае пространств (Rn, S3(Rn)), (Rсо, S3 (R
)).
Доказательство следует из теоремы 5 и известного результата из топологии
о том, что такие пространства являются борелевскими.
Предыдущая << 1 .. 73 74 75 76 77 78 < 79 > 80 81 82 83 84 85 .. 179 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed