Вероятность - Ширяев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
М|?л - ?|-"-0, п-*- со. (17)
Доказательство. Для достаточно больших п Mg" << оо, поэтому для них
M|g - LI = M(g - g") -р М(g" - g)/{|л>|} =
= 2М (6 - ?") 1{1>гя} + М (?"-?).
Но Osg (g - g") / Поэтому no теореме о мажорируемой
сходимости lim (g - g") I rE>t i=0, что вместе с предположением
п 15 /
Mg"^Mg доказывает (17).
Замечание. Теорема о мажорируемой сходимости справедлива и тогда, когда в
ней сходимость почти наверное заменяется
274 ГЛ II МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
на сходимость по вероятности (см. задачу 1). Поэтому в теореме 3
сходимость можно заменить на сходимость
5. Из математического анализа известно, что всякая фундаментальная
числовая последовательность {хп}, xn^R, является сходящейся (критерий
Коши). Приведем аналогичные результаты для сходимости последовательности
случайных величин.
Теорема. 4 (критерий Коши сходимости почти наверное). Для того чтобы
последовательность случайных величин {?"}n>i была сходящейся с
вероятностью единица (к некоторой случайной величине %), необходимо и
достаточно, чтобы она была фундаментальна с вероятностью единица.
Доказательство. Если ?я-то
sup | - ?, | =s? sup j Eft - ?| +sup |
k ^n k^n l>n
l^n
откуда вытекает необходимость условия теоремы.
Пусть теперь последовательность фундаментальна с
вероятностью единица. Обозначим = {со: {?" (со)} не фундамен-
тальная). Тогда для всех очисловая последовательность {?" (co)},j3>i
является фундаментальной и, согласно критерию Коши для числовых
последовательностей, существует lim (со). Положим
( lim ?"(<"), со ? " Н о ^ (18)
( 0, со е
Так определенная функция является случайной величиной и, очевидно, ?" -
Теорема доказана.
Прежде чем переходить к случаю сходимости по вероятности, установим
следующий полезный результат.
Теорема 5. Если последовательность {?"} фундаментальна (сходится) по
вероятности, то из нее можно извлечь подпоследовательность {НП/гф
фундаментальную (сходящуюся) с вероятностью единица.
Доказательство. Пусть последовательность {?"} фундаментальна по
вероятности. В силу теоремы 4 достаточно доказать, что из нее можно
извлечь подпоследовательность, сходящуюся почти наверное.
Положим щ - 1 и по индукции определим nk, как то наименьшее для
которого при всех s^n, t^sn
Тогда
SP{lb.*+x-W>^}<S^<oo
k
§ 10 РАЗНЫЕ ВИДЫ СХОДИМОСТИ
со
Пусть @уГ = {со: 2|?Я4+1-?Я4| = оо}. Тогда, если положить
ТО получим \п TiJL; g.
Если же исходная последовательность сходится по вероятности, то она и
фундаментальна по вероятности (см. далее (19)) и, следовательно, этот
случай сводится к уже разобранному. Теорема доказана.
Теорема 6 (критерий Коши сходимости по вероятности),
Для того чтобы последовательность случайных величин {\п}п>х была
сходящейся по вероятности, необходимо и достаточно, чтобы она была
фундаментальна по вероятности.
Доказательство. Если т0
и, следовательно, последовательность {?"} фундаментальна по вероятности.
Обратно, если {?"} фундаментальна по вероятности, то тогда, согласно
теореме 5, найдутся подпоследовательность и слу-
чайная величина \ такие, что HiJE Но тогда
Р{||"-?;|=& в} <P{|E"-E"J^e/2} + P{|!"4-Ц^в/2},
откуда ясно, что \п JT Теорема доказана.
В связи со сходимостью в среднем порядка р> 0 сделаем прежде всего
несколько замечаний о пространствах LP.
Будем обозначать через LP = LP(Q, 6F, Р) - пространство случайных величин
? = ?(со) с М | \ \р = § j \ \р dP < оо. Предпо-
СО
Q
ЛОЖИМ, ЧТО Р>г1 И ПОЛОЖИМ
Ш1р = (МШД^.
Ясно, что
1 cl ||р = | с 111 |p, с - постоянная
(20)
(21)
27G ГЛ II. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
и в силу неравенства Минковского (6.31)
II § + ч fp ^ 11 |1р+II л !р.
(22)
Таким образом, в соответствии с известными определениями функционального
анализа функция ||-||р, определенная на Lp и удовлетворяющая условиям
(20) -(22), является (для 1)
полунормой.
Чтобы она была и нормой, нужно еще выполнение свойства
Это свойство, конечно, не выполнено, поскольку, согласно свойству Н (§
6), можно лишь утверждать, что ^ = 0 почти наверное. Однако если под Lp
понимать пространство, элементами которого являются не случайные величины
^сМ|^|р-<со, а классы эквивалентных случайных величин (? эквивалентно ц,
если Е = г] почти наверное), то ||-|1р становится нормой, a Lp -
нормированным линейным пространством. Если в каждом классе эквивалентных
случайных величин выбрать по одному элементу, беря функцию, тождественно
равную нулю, в качестве представителя в классе функций, ей эквивалентных,
то полученное пространство (которое также обозначается Lp) будет уже
линейным нормированным пространством функций (а не классом
эквивалентности).
Один из важных результатов функционального анализа состоит в
доказательстве того, что пространства Lp, р^ 1, являются полными, т. е.
всякая фундаментальная последовательность является сходящейся.
Сформулируем и докажем этот результат на вероятностном языке.
Теорема 7 (критерий Коши сходимости в среднем порядка р Дл 1). Для того
