Вероятность - Ширяев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
СО
V , V . п I [p(y)-p(y-x)]n~1f(y)dy, *5*0,
F р (*) = j _Jra
О, л: < О,
/Р (х) = -
я(п-1) ^ [F(y)-F(y-x)]n-2f(y-x)f(y)dy, х> О,
- СО
О, х<0.
3. Пусть Ёх и ё2 - независимые пуассоновские случайные величины с
параметрами Ях и Х2 соответственно. Показать, что Ё, +|2 также имеет
пуассоновское распределение с параметром ix -f- Хг.
4. Пусть в (4) т1 = тг = 0 Показать, что
h Ы == пщз Fl-p2
' я (а^г -2pCTjCT2z + ff;)
5. Величина р* (Ё, т)) = sup р (и (|), н(г])), где супремум берется
U, V
по всем борелевским функциям и = и(х) и v = v(x), для которых коэффициент
корреляции р (и (Ё), v (г])) определен, называется максимальным
коэффициентом корреляции Ё и г]. Показать, что счучайные величины \ и т)
независимы тогда и только тогда, когда р* (Ё, г]) = 0.
6. Пусть т,, т2, %п - независимые неотрицательные одинаково
распределенные случайные величины с экспоненциальной плотностью
распределения
f(t) = Xe-u, /5з= 0.
Показать, что распределение случайной величины тх + ... + тА имеет
плотность
\kik-\p-U
Kt /53:0, 1 tsQk^n,
(ft-1)1
*-i
Р (тх -ф... -ф тА > /) - У е
М'
i!
о
2ГЛ ГЛ II МЛТЕМ\ТГ1ЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕН
7. Пусть ?~(c)<г(0) <т2). Показать, что для всякого рзД
М | Е |р = Cpcrf,
и Г (s) = \ e-xxs~1 dx - гамма-функция Эйлера. В частности, для
§ 9. Построение процесса с заданными
конечномерными распределениями
1. Пусть Е = с (со) - случайная величина, заданная на вероятностном
пространстве (Й, еF, Р) и
ее функция распределения. Понятно, что F^(x) является функцией
распределения на числовой прямой в смысле определения 1 § 3.
Поставим сейчас следующий вопрос. Пусть F = F (х) - некоторая функция
распределения на R. Спрашивается, существует ли случайная величина,
имеющая функцию F (х) своей функцией распределения?
Одна из причин, оправдывающая эту постановку вопроса, состоит в
следующем. Многие утверждения теории вероятностей начинаются словами:
"Пусть Е - случайная величина с функцией распределения F (х), тогда...".
Поэтому, чтобы утверждения подобного типа были содержательными, надо
иметь уверенность, что рассматриваемый объект действительно существует.
Поскольку для задания случайной величины нужно прежде всего задать
область ее определения (Q, aF), а для того, чтобы говорить о ее
распределении надо иметь вероятностную меру Р на (й, aF), то правильная
постановка вопроса о существовании случайной величины с заданной функцией
распределения F (х) такова:
Существуют ли вероятностное пространство (й, si2", Р) и случайная
величина ? = Е (со) на нем такие, что
Покажем, что ответ на этот вопрос положительный и, в сущности, он
содержится в теореме 1 § 1.
Действительно, положим
Q = д, ЕГ = е(r)(Д).
где
СО
О
любого целого п 3= 1
МЕ3" = (2л - 1)!! а2п.
F|(Д = Р {со: Е (")е= х\ -
Р {со: 1(а>) ^ х] = F (х)?
§ 9 ПОСТРОЕНИЕ ПРОЦЕССА
261
Тогда из теоремы 1 § 1 следует, что на (R, 33 (R)) существует (и притом
единственная) вероятностная мера Р, для которой Р(а, b] = F(b) - F (а),
а<Ь.
Положим ?(<")==<". Тогда
Р {со: ? (со) ^л:} = Р {со: со^л:} = Р(-со, x\ = F(x).
Таким образом, требуемое вероятностное пространство и искомая случайная
величина построены.
2. Поставим теперь аналогичный вопрос для случайных процессов.
Пусть X = {b)t(s.т - случайный процесс (в смысле определения 3 § 5),
заданный на вероятностном пространстве (Q, aF, Р) для t еТ s R.
С физической точки зрения наиболее важной вероятностной характеристикой
случайного процесса является набор {F^ tn (*i, ..., хп)} его
конечномерных функций распределения
заданных для всех наборов tlt ..., t" с .<tn.
Из (1) видно, что для каждого набора tn с tl<3t2<Z...
...<Ztn функции Ftl 'n(xi' х") являются п-мерными функциями распределения
(в смысле определения 2 § 3) и что набор {Ftv 1п(х!, ..., хпЦ
удовлетворяет следующим условиям согласованности'.
PtL th{x i, ..., xk) = Ftv (x,, ..., xk, + со, ..., -boo), (2)
где k<.n.
Естественно теперь поставить такой вопрос: при каких условиях заданное
семейство {F^ tn{xi, •••, Jcn)} функций распределения Ftl ... tn(xi, ...,
Xn) (в смысле определения 2 § 3) может быть семейством конечномерных
функций распределения некоторого случайного процесса? Весьма
примечательно, что все такие дополнительные условия исчерпываются
условиями согласованности (2).
Теорема 1 (теорема Колмогорова о существовании процесса). Пусть
{Ftl...tn{xl...xn)}< где tt <=Т <= R, t1<t2<...< tn, rtSsl, заданное
семейство конечномерных функций распределения, удовлетворяющих условиям
согласованности (2). Тогда существуют вероятностное пространство (Е!, aF,
Р) и случайный процесс X = (Et)r е Г, такие что
Ftv ..., (Xi, ..., хп) - Р |со. ^ . xlt ..., ' F х"|,
(1)
F {со: Ъ^х^ ..., bn<xn} = Fti."tn(x1...xn).
(3)
J?62 ГЛ II МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Доказательство. Положим
Q = ^ S = S3{RT),
т. е. возьмем в качестве пространства Q пространство действительных
функций со = (",);<= г с а-алгеброй, порожденной цилиндрическими
