Вероятность - Ширяев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
i = 1
ратическом смысле). Если применить процесс ортогонализации Грамма -
Шмидта к последовательности функций %(.*:), щ{х), ... с г],- (х) - х', то
полученная ортонормированная система будет в точности совпадать с
системой нормированных полиномов Эрмита. В рассматриваемом нами случае
условие (17) выполнено. Следовательно, полиномы {hn (х)}п^о образуют
базис и, значит, любая случайная величина | = |(л;) на рассматриваемом
вероятностном пространстве представима в виде
00
I (х) = 1. i. m. 2 (?, hi) ^ (x). (18)
i=0
Пример 2. Пусть Q = {0, 1, 2, ... ,} и P = {Plt Р2, ...} - пуассоновское
распределение:
= х = 0, 1, ...; Я>0.
Положим Af(x)=f(x) - f(x-l) (/(*) = 0, л:<0) и по аналогии с (15)
определим полиномы Пуассона - Шар лье
Пп(х)-^'?пр* , 1, П0=1. (19)
§ II. ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 287
Поскольку
со
(П^, П") = 2 (х)П" (*)Рх =
х=0
где сп - положительные константы, то система нормированных
полиномов Пуассона -Шар лье {пп(х)}п^о, (х) = -ПдМ. ^ овра-
га сп
зует ортонормированную систему, которая в силу выполнимости условия (17)
является базисом.
ПримерЗ. Приводимые в этом примере ортонормированные системы функций
Радемахера и Хаара интересны как для теории функций, так и для теории
вероятностей.
Пусть Q = [0, 1), aF = <$?([0, 1)) и Р -мера Лебега. Как упоминалось в §
1, каждое число яе[0, 1) может быть однозначно разложено в двоичную дробь
г __ *1 I Х2 |
" 2 ^ 22 ^ * * * "
где хг = 0 или 1. (Для однозначности разложения мы уславливаемся
рассматривать только те разложения, которые содержат бесконечное число
нулей. Так, из двух разложений
JL J - -j ?_____________________________I ? р
2 2 22 23 2 "т" 2а "Г 23 ~ м
мы берем первое.)
Образуем случайные величины ?х(х), ^2(л:)> положив
^ л (-*0 - Хп.
Тогда для любых а,, принимающих значения 0 или 1,
Р {х: ?i = ai> • • • > \п = ап] - Р -j- + + • • • + -ф- "Р4 <t
2 n 22 ^ • • • " 2" ^ 2"j
= P ir x e -P -P - - 4- -P - 4- -Ml = -
r \x- X [ 2 + • • • T- 2Л ' 2 Л- * * ¦ -Г 2" T 2n Jj
2* *
Отсюда непосредственно следует, что jj2, ... образует последовательность
независимых бериуллиевских случайных величин (рис. 30 показывает, как
устроены ?i = ?i(x) и g2 = g3(x)).
Если теперь положить R" (х) = 1 - 2g" (x), ns^l, то нетрудно
проверить, что система -[/?"} (функций Радемахера, рис. 31) яв-
ляется ортонормированной:
1
МЯ"Ят = $Яя(х)Ят(х)<*Х:=6Л1Я.
0
283 ГЛ п математические основания теории вероятностей
Заметим, что (1, Rn) = MR,, - 0. Отсюда следует, что эта система не
является полной.
Однако систему Радемахера можно использовать для построения так
называемой системы Хаара, которая и проще устроена, и к тому же является
как ортонормированной, так и полной.
Л (х) рг(х)
Цх 1 ф) 1 1 *\ Г*1 1 | 1
1 1 - Г^* |tl| I I I I 1 1 ... ! I 3 1 | | 1 1 1 1 ! !
,
1 1 1 1 -"1 1 I I I I I II I 11/2 1/ х ! 1 {//¦ф/фл'Л
I 1 ] 1 1 М |
0 1/2 1x0 1/41/2 3/4 !*х ~1 - 1-*1 -/ 1 II 1
Рис 30. Рис 31 Функции Радемахера
Снова пусть П = [0, 1), ^ = S3 ([0, 1)). Положим
Н, (х) = 1,
Н2 (x) = R1 (х),
Нп(х) =
2J^Rj(x), если -2т~ < -gy , n = 2> + k,
0
1<*<2/, /5&1, в остальных случаях.
Нетрудно проверить, что Нп (х) можно записать и в таком виде:
2m/2, 0<х<2-<т+1>,
Я4т+1(:с) = | - 2"Ч\ 2-^1^х<2-т, т= 1, 2......
в других случаях,
0
/-1
. /= 1 2"
На рис. 32 приведены графики первых восьми функций, дающих представление
о структуре образования и поведении функций Хаара.
Система функций Хаара является, как нетрудно проверить,
ортонормированной. Более того, она полна и в L1, и в L2, т. е, если
функция f = f(x)^Lp для р - 1 или р = 2, то
§ 11. ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
289
и обладает к тому же тем свойством, что с вероятностью единица (по
лебеговской мере)
2(/. Hk)Hk(x)-+f{x), п-+ оо.
ft=-i
Мы докажем эти факты в § 4 гл. VII, выведя их из общих теорем о
сходимости мартингалов, что, в частности, будет служить хорошей
иллюстрацией применения мартингальных методов к теории функций.
И3(х\ И^(х)х
2'/г- Г*!
-A-W.T
Рис. 32. Функции Хаара х), ..., Hs(х).
6. Если г),,..., ^" - некоторая конечная ортонормированная система,
то, как было показана выше, для всякой случайной величины geL2 в линейном
многообразии <5? = (rilt г|") можно найти случайную величину | (проекцию
| на <5?) такую, что
I? -ill = inf {!? - ?[: ?&?(%, n")}.
290 ГЛ. II. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
П
При этом |= 2 (?> т1г) Ль- Эт°т результат допускает естественное
i=i
обобщение на тот случай, когда т^, т]2, ... - счетная ортонормиро-ванная
система (не обязательно являющаяся базисом). А именно, справедлив
следующий результат.
Теорема. Пусть т)1( г\2, ...- ортонормированная система случайных
величин, X^Xfa, rj,,...) - замкнутое линейное многообразие, порожденное
ими. Тогда существует и притом единственный элемент \^Х такой, что
S ^ - 11 = inf {II g - s I: (20)
При этом
| = 1.i.m. J] (?, ть)т|, (21)
п (=i
Доказательство. Обозначим d = inf {j? - t,^.X\ и
выберем последовательность ?х, ?2> • • • так, что Р? -?"|->d. Покажем,
