Вероятность - Ширяев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
случае идет речь.
Условимся также о следующих обозначениях.
При алгебраических операциях векторы a^Rn будут рассматриваться как
вектор-столбцы,
а а*-как вектор-строки, а* = (а1,..., ап). Если a, b^Rn, то под их
скалярным произведением (а, Ь) будет пониматься величина
П
2 a-ibi- Ясно, что (а, b) = a*b.
i = i
Если heJ?" и !R = [[r/jr 1 - матрица порядка пхп, то
П
(Ra, a) = a*Ra= ^ rvaia/- (1)
С/ = 1
2. Определение 1. Пусть Е = Е(л:1, , хп) - п-мерная
функция распределения в (Rn, S3 (R'1)). Ее характеристической,
функцией называется функция
<р (t)- $ etv-*) dF (х), t^Rn. (2)
Rn
Определение 2. Если l - ?")-случайный вектор,
определенный на вероятностном пространстве (Q, aF, Р) со значениями в Rn,
то его характеристической функцией называется функция
<р6(0= S (W-vdFtix), t s Rn, (3)
Rn
где Е| = Е|(л:1, ..., xn)- функция распределения вектора ? = "(Si, &").
^'4 ГЛ. II. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Если функция F (х) имеет плотность / = / (х), то тогда Ф (/) = § eC{t'
x)f (х) dx.
Rn
Иначе говоря, в этом случае характеристическая функция ф(^) есть не что
иное, как преобразование Фурье функции f (х).
Из (3) и теоремы 6.7 (о замене переменных под знаком интеграла Лебега)
вытекает, что характеристическую функцию ф| (/) случайного вектора можно
определить также равенством
Ф! (t) = Mef <'*&>, t<=Rn. (4)
Приведем теперь основные свойства характеристических функций, формулируя
и доказывая их лишь в случае п = 1. Некоторые наиболее важные результаты,
относящиеся к общему случаю, даются в виде задач.
Пусть ? = ?(<") - случайная величина, F^ = F^ (х) - ее функция
распределения и
Ф1 (/) = Me'7*
- характеристическая функция.
Сразу отметим, что если г\ = al-{-b, то
Фл (t) = Ме7т> = Me'7 (а|+г,> = eitbMeia'\
Поэтому
Фч (0 - eitb<p% (at). (5)
Далее, если Ej, |2, - независимые случайные величины
и = ?! + •• •Ч-1я" т°
ч*я(0= Пфб/О* (6)
i=i
В самом деле,
Ф5п = Me,v (?i + • ' •+ = Ме'7?1... еи6" =
= Ме^1...Мег^=П Ф|/(0,
/=1
где мы воспользовались тем, что математическое ожидание произведения
независимых (ограниченных) случайных величин (как действительных так и
комплексных, см. теорему 6 в § 6 и задачу 1) равно произведению их
математических ожиданий.
Свойство (6) является ключевым при доказательстве предельных теорем для
сумм независимых случайных величин методом характеристических функций
(см. § 3 гл. III). В этой связи отметим, что функция распределения Fsn
выражается через функции распределения отдельных слагаемых уже
значительно более сложным
§ 12 ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 295
образом, а именно, FSn = Р%1*.. •*^л, где знак * означает свертку
распределений (см. п. 4 § 8).
Приведем примеры характеристических функций.
Пример 1. Пусть i - бернуллиевская случайная величина с Р(? = 1) = р, Р(?
= 0) = <7, р + <7=1, 1 >р>0, тогда
Фб (0 = peil + q.
Если ... ,%п - независимые одинаково распределенные (как ?) случайные
величины, то
S" - np _ ц 1 fnp_ Г t
it -
<Ps-np(0 = Me Vnpp =e 4 \pe^npp+q
Ynpq
Г itYjl _"i/X|n
= [pe y np + qe r npJ •
(7)
Заметим, что при n-^co отсюда следует, что
Ф sa-nP")-+e-m- (8)
Уnpq
Пример 2. Пусть ?^<&P(m, а2), |т|<оо, а2>0. Покажем, что
_ w
ф|(0=ет *. (9)
Положим ц = ^~~т. Тогда 1) и, так как в силу (5)
Ф|(0 = е'/тФл И), то достаточно лишь показать, что
Ф n(t) = e-(tm). (10)
Имеем
СО
Фг, (/) = Ме,7т1 = yL= ^ eitxe~ хг& dx =
¦- оо
со со со со
= У (?0!?(2н-1)И= у у =
Li (2п)1 К Li (2п)! 2пп\ L \ 2J п\ "
л = 0 л = 0 л = 0
где мы воспользовались тем (см. задачу 7 в § 8), что
со
-4=г f х2пе~*ар2 dx = Mri2n = (2/г - 1)!!
V 2л J
296 ГЛ. П. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Пример 3. Пусть ? - пуассоновская случайная величина,
k\
P(l = k) = ^-, k - 0, 1,...
Тогда
СО ^
= 2 = 2 т = ехР ^ - 1 <11 >
fc=0 *=0
3. Как отмечалось в п. 1 § 9, с каждой функцией распределения в (R,
S3{R)) можно связать случайную величину, имеющую эту функцию в качестве
своей функции распределения. Поэтому при изложении свойств
характеристических функций (в смысле как определения 1, так и определения
2) можно ограничиться рассмотрением характеристических функций ср (/) =
<pj (/) случайных величин ? = ?(w).
Теорема 1. Пусть ? - случайная величина с функцией распределения F - F
(х) и
Ф (/) = Ме'^
- ее характеристическая функция.
Имеют место следующие свойства'.
1) |Ф(/)|<Ф(0) = 1;
2) ф (t) равномерно непрерывна по t е/?;
3) ф(/) = ф(-0;
4) ф (t) является действительнозначной функцией тогда и
только тогда, когда распределение F симметрично (\dF (х) =
= ^ dF (х), B<=S3(R), -В = {-х: теБ} ;
-в )
5) если для некоторого п 1 М|5|п<;оо, то при всех г ^ п существуют
производные ф(л) (t) и
Ф(г) (0 - § ^ХУ е''х dF (x), (12)
Mr=5qi0)( (13)
ф(о=2(-7?м^+(4Г-е"^' <и>
7- = 0
где | е" (01 ЗМ 11 \п и еп(/)0, /->0.
6) Если существует и является конечной ф(2л) (0), то М?2л ¦< со.
7) Пусть М | ? |л < оо для всех л5= 1 и
§ 12. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 297
тогда при всех \ 11 < R
ф(о== 2 (j2rME"- (15)
