Вероятность - Ширяев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
согласно (11),
lnipj {t) = h{e!t- 1).
Отсюда следует, что для всех п 5= 1
sn = X. (50)
Пример 4. Пусть | = (|1, ..., ?*) - случайный вектор. Тогда
m6(l) = sE(l), ml(l, 2) = S|(1, 2) + Si (1) S| (2), mt(l, 2, 3) = s*(l,
2, 3) + S|(l, 2)S|(3) + + s*(l, 3) г(2) + + S|(2, 3)s^(l)-j-sj(l)s|(2)
s^(3)
Эти формулы показывают, что простые моменты выражаются через простые
семиинварианты весьма симметричным образом. Если положить =
...==?*, то из них получатся, конечно,
формулы (48).
Из (51) становится понятным "групповое" происхождение коэффициентов в
формулах (48). Из (51) следует также, что
s5(l, 2) = т%(\, 2) -/П|(1)т6(2) = МУ;а -М|хМ;;а, (52)
т. е. S|(l, 2) есть не что иное, как ковариация случайных величин ?х,
9. Пусть ^ -случайная величина с функцией распределения F = F(x) и
характеристической функцией <р(/). Предположим, что существуют все
моменты тп = М?л, " 2= 1.
§ 12. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
313
Из теоремы 2 следует, что характеристическая функция однозначно
определяет распределение вероятностей. Поставим сейчас следующий вопрос
(единственность проблемы моментов): однозначно ли определяют моменты
{ш")"> i распределение вероятностей?
Точнее, пусть F и G -две функции распределения, у которых Есе моменты
совпадают, т. е. для всех целых п^О
СО СО
\fxndF(x)= J хп dG (х). (53)
- СО -СО
Спрашивается, вытекает ли отсюда совпадение функций F и G?
Вообще говоря, ответ на этот вопрос отрицательный. Чтобы в этом
убедиться, рассмотрим распределение F с плотностью
*>0,
Т{ ' I 0, x=s?0,
где сс>0, 0 < %<1/2, а константа k выбрана из соображений
ОО
нормировки 5 / (х) dx = 1. о
Обозначим p=cctgAn, и пусть g-(,t) = 0 для xsgO и g(x) = ke~axk[\-f е sin
(Рхх)], |е|<1, х>"0.
Ясно, что g(x)^0. Покажем, что при всех целых пЗэО
СО
^ хпе~ахХ sin р*х dx = 0- (54)
о
Известно, что для р>0 и комплексных q с Req>0
ОО
^ tP^e-i'dt^^p-. о ^
tx I j[
Положим здесь р - -~~, q = a-{-i$, t - x\ Тогда
00 Л
^ х \ х'-Хх^1 dx =
= xne-(a+iQ)*Kdx - к ^ хпегах>' cos рх adx -
[о о
со rfn+l'S
- iX\xne~ax sinPx^dx = - ^ % .1 (55)
о 2+! 5+1
а (l + itgbi) К
314 гл. И. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Но
n-f-1 n-f-1 _ Л + 1
(1 +1 tg Ал) к = (cos Ал + i sin Ал) к (cos Ал) к -
- п +1 _ п + *
__ ef3t (л+1) (cos Ал) к - cos л (п + 1) • cos (Ал) к ,
поскольку sin it (" + 1) = 0.
Тем самым правая часть в (55) является действительной и, значит, при всех
целых "2=0 справедлива формула (54). Возьмем теперь в качестве G (х)
функцию распределения с плотностью g(x). Тогда из (54) следует, что у
функций распределения F и G все моменты совпадают, т. е. для всех целых
"2=0 справедливы равенства (53).
Приведем теперь некоторые достаточные условия, обеспечивающие
единственность проблемы моментов.
Теорема 7. Пусть F = F (х)- функция распределения и р" -
СО
- $ \х\ndF(x). Если
- СО
ц1/"
lim - <°°i (56)
со п
ОО
то моменты {m"}"^i, где m" = jxndF(x), однозначно определяют
-00
функцию распределения F- F (х).
Доказательство. Из (56) и утверждения 7) теоремы 1 следует, что найдется
такое io>0, что для всех характе-
СО
ристическая функция ф (t) - $ eitx dF (х) представима в виде
- СО
СО ,
фОТ-Итт"1*
А=0
и, следовательно, моменты {т"}п>\ однозначно определяют значение
характеристической функции ф(t) для всех \t\s^i0.
Возьмем точку s с |s|C<0/2- Тогда из (56), так же как и при
доказательстве (15), показывается, что для всех \t - s(s^0
СО , ,
<р(0- 2
k = Q
где
00
Ф,k) (s) = ik ^ xkeisx dF(x)
-СО
однозначно определяется по моментам {тп\п^\. Следовательно, эти моменты
определяют однозначно ф (t) для всех
§ 12. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
315
Продолжая этот процесс, убеждаемся в том, что {тп}п^>\ определяют
однозначно ф (t) при всех t, а значит, и функцию распределения F (х).
Теорема доказана.
Следствие 1. Моменты однозначно определяют распределение вероятностей,
сосредоточенное на конечном интервале.
Следствие 2. Для единственности проблемы моментов достаточно, чтобы
Для доказательства достаточно заметить, что нечетные моменты оцениваются
по четным, и затем воспользоваться условием (56). Пример. Пусть F (х) -
функция нормального распределения,
менты являются моментами только нормального распределения. Приведем в
заключение (без доказательства)
Крит-ерий Карлемана единственности проблемы моментов.
а) Пусть {mn}n^i - моменты некоторого распределения вероятностей,
причем
Тогда они определяют распределение вероятностей однозначно.
Ь) Если \тп\п>\-моменты распределения, сосредоточенного на [0, оо), то
для однозначности достаточно потребовать, чтобы
10. Задачи.
1. Пусть | и т] - независимые случайные величины, f (х) = = fi (х) +
'/а (4. g (х) = gi (х) + tet (х), где Д (х), gk {х) - борелевские
функции, k =1,2. Показать, что если М|/(|)|<со M|g(i)|<oo, то
(57)
X t'
Тогда /п2Л+1 = 0, т2Л = ^о2" и из (57) следует, что эти мо-
СО
ОО
СО.
И
M|/(i)g(T])|<oo М/ (Б) g (л) = М/ (I) • Mg (ri).
316 гл II. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ