Вероятность - Ширяев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
характеристической.
Сложнее обстоит дело с проверкой того, является ли интересующая нас
функция ф = ф(/) характеристической. Сформулируем (без доказательства)
ряд результатов в этом направлении.
Теорема Бохнера -Хинчина. Пусть ф(t) - непрерывная функция, t е R, и ф
(0) = 1. Для того чтобы ф (t) была характеристической, необходимо и
достаточно, чтобы она была неотрицательно-определенной, т. е. для любых
действительных tx, ... и любых комплексных чисел >.1( ..., /1=1, 2,
...,
П
2 Ф^-^и/^О. (32)
i./=1
Необходимость условия (32) очевидна, поскольку, если
СО
Ф (t) = § eitx dF (х), то
- СО
2
dF (х) 0.
2 Ф (U - tj) \1, = ^
lt)=\ -О
2
k=i
it.x
Труднее доказывается достаточность условия (32).
Теорема Пой а. Пусть непрерывная, четная и выпуклая книзу-функция ф (t)
такова, что ф(^)5а0, ф(0) = 1, ф(/)->-0 при t ->- со. Тогда ф (t)
является характеристической функцией.
Эта теорема дает весьма удобный способ конструирования функций,
являющихся характеристическими. Таковыми будут,
306 ГЛ. II. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
например, функции
Фх (0 = е-|п.
i-т, m<i,
0, Ш>1.
ф2 (0 =
Таковой будет и функция ф3(0, изображенная на рис. 34. На интервале [-а,
а] функция ф3(^) совпадает с функцией ф2(^). Однако отвечающие им функции
распределения F2 и F3, очевидно, различны. Этот пример показывает, что
для совпадения функций распределения недостаточно, вообще говоря,
совпадения их характеристических функций на конечном интервале.
Рис. 34.
Теорема Марцинкевича. Если характеристическая функция ф (t) имеет вид
ехр#>(^), где ъР (t) - полином, то степень этого полинома не может быть
больше двух.
Из этой теоремы вытекает, например, что функция ertl не является
характеристической функцией.
7. Следующая теорема является примером результата, показывающего, как
по свойствам характеристической функции случайной величины могут быть
сделаны нетривиальные заключения о структуре этой величины.
Теорема 5. Пусть - характеристическая функция случайной величины
a) Если щ (/0) i = 1 для некоторого t0 ф 0, то случайная вели-* -
, 2я
чина § является решетчатой с шагом /г = -,-, т. е.
2 P{S = fl+/iA} = l, (33)
Л = - со
где а - некоторая константа.
b) Если | ф? (t) | = | щ (at) | = 1 для двух различных точек t и at, где
а -иррациональное число, то случайная величина | является вырожденной'.
Р{? = й}=1,
где а - некоторая константа.
§ 12. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 307
с) Если | (t) | == 1, то случайная величина | вырождена.
Доказательство, а) Если |(/") | = 1, t0?=0, то найдется число а такое,
что для этого t0 <р (/") = eil"a. Тогда
ОО СО
ettaa _ ^ e?taX dF (х)^ 1= § е11 а ~ dF (л:)=>1 =
- 00 -СО
оо оо
= § cos t0 (х - a) dF (х) => § [1 - cos/0(;c - a)]dF(x) = 0.
- со -со
Поскольку 1 - cos/"(;t - а) 5=0, то из свойства Н (п. 2 § 6) следует, что
(Р-п. н.)
1 = cos t0 {I - а),
что эквивалентно соотношению (33).
Ь) Из предположения j (/) (= [ (ех/) | = 1 и (33) следует, что
| Р{| = Я+^"}= | р{б_6+§ш)_1.
п =-оо т =- оо
Если g не является вырожденной, то тогда во множествах \a-\-~n, п - 0,
±1, ...} и ^b + ~m, т = 0, ±1, ...}
найдутся по крайней мере по две совпадающие точки: откуда
, 2я , . 2я , 2я , . 2я
aJr-n1 = b + - m1, a + - n2 = b+-^-m2,
2я , . 2я , ,
- ("1 - пг) = (mi ~ Щ)*
что противоречит предположению об иррациональности числа а. Утверждение
с) следует из Ь).
Теорема доказана.
8. Пусть ? = (|ь ?*) -случайный вектор,
Фь(/)"=Ме"'-*>, / = (/lt ..., /*),
- его характеристическая функция. Будем предполагать, что для некоторого
п ^ 1 М | ?,• |л < оо, :' = 1, ..., k. Из неравенства Гёль-дера (6.29) и
неравенства Ляпунова (6.27) отсюда следует, что существуют (смешанные)
моменты М ... для всех неотри-
цательных vlt ..., г* таких, что v14-...-)-Vft^п.
Как и в теореме 1, из этого выводится существование и непрерывность
частных производных
^-Ь..+Vft
у. (^1> • • • J /ft)
ы?...
308 , ГЛ II. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕН
для v1 + ... + vft^ra. Тогда, разлагая q>|(fx, tk) в ряд Тейлора, найдем,
что Ф|(tlt tk) =
- смешанный момент порядка v = (vl5 ..., vk).
Функция (tx, ... , tk) непрерывна, (0,.... 0)= 1,ипоэтому в некоторой
окрестности нуля (111 < 8) она не обращается в нуль. В этой окрестности
существуют и являются непрерывными частные производные
где под In г понимается главное значение логарифма (если г = гет, то In г
полагается равным lnr-fi6). Поэтому 1пф^(^, ..., tk) может быть
представлен по формуле Тейлора
где коэффициенты s|Vl"'v*) называют (смешанными) семиинвариантами или
кумулянтами порядка v = (v1...vft) вектора ? =з
(Именно это свойство и оправдывает название "семиинварианты"
Чтобы упростить запись и придать формулам (34), (35) "одномерный" вид,
введем следующие обозначения.
Если v = (Vj, ..., V*) -вектор с неотрицательными целочисленными
компонентами, то положим
Vj+...+vA<n
In ф|+г) (0 = In ф| (0 + In фп (/),
(36)
и поэтому
s(vi - vft) = S(V1 - v*) 4- S(V1 - vft)
bi+ri V
