Вероятность - Ширяев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
(|>t])=J алч.!). E.s=". (23)
I (El. -Iill), если s,<0. '
Тогда нетрудно проверить, что каждая из величин ? и т] гаус-
совская, а вектор (?, тр гауссовским не является.
Пусть ? = ?а, а е 31, - некоторая гауссовская система с вектором средних
значений т = (та), а е 31, и матрицей ковариаций R = (Тхз) а,резь где та
- М?а. Матрица R является, очевидно, симметрической (/•"р == г$а) и
неотрицательно-определенной в том смысле, что для любого вектора с =
(са)аев% со значениями в R3l, у которого лишь конечное число координат са
отлично от нуля,
(Rc, с) = 2 /'сфСаСр ^ (24)
а, |3
Поставим сейчас обратный вопрос. Пусть задано некоторое параметрическое
множество 2i = {a}, вектор т = (та)а(=чц и симметрическая неотрицательно-
определенная матрица R - (rap,)a, ред. Спрашивается, существует ли
вероятностное пространство (Q, af, Р) и на нем гауссовская система
случайных величин ? = (?а)аед такие, что
М?а =
COV(?a, ^)=гар, а, Р
Если взять конечный набор alt ..., ап, .то по вектору т - = , /п"л)
и матрице R = (гар), а, р а", в Rn можно
построить гауссовское распределение Fa ... "Я(М ... хп) с
характеристической функцией
q,(f)=e,(''m)-^(R,',)> * = (Ц, ..., taJ.
Нетрудно проверить, что семейство
... (а^, . . . , Хп)', Cti 6Е 5IJ
является согласованным. Следовательно, по теореме Колмогорова (теорема 1
§ 9 и замечание 2 к ней) ответ на поставленный выше вопрос является
положительным.
Г 26
ГЛ И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
7. Если 31 = {1, 2, ... }, то в соответствии с терминологией, принятой
в § 5, систему случайных величин | = (?а)ае=я" будем называть случайной
последовательностью и обозначать | = (|1; |2,,..). Гауссовская
последовательность полностью описывается вектором средних значений т -
(тх, т2. ...) и матрицей ковариаций IR = |] г у [, ту - cov (Е,-, %¦). В
частности, если rij = a]bij, то Е = (?1; Н2, ••¦) есть гауссовская
последовательность независимых случайных величин с (mh о]), г'2г 1.
В том случае, когда 31 = [0, 1], [0, оо), (-оо, со) систему величин ? =
(?,), t е 3!, называют случайным процессом с непрерывным временем.
Остановимся на некоторых примерах гауссовских случайных процессов. Если
считать их средние значения равными нулю, то полное описание
вероятностных свойств таких процессов определяется видом матрицы
ковариации ||rrf||. Будем обозначать rst через r(s, t) и называть эту
функцию от ь и t ковариационной функцией.
Пример 1. Если Т = [0, оо) и
то гауссовский процесс l = (b)t>о с такой функцией ковариации (см. задачу
2) и |0 = 0 называется процессом броуновского движения (винеровским
процессом).
Отметим, что этот процесс имеет независимые приращения, т. е. для любых
t1ct2< ... <.in случайные величины
являются независимыми. В самом деле, в силу гауссовости достаточно
проверить лишь попарную некоррелированность приращений. Но если s < t < и
< v, то
М[Ь-ыв*-у =
= [/¦(*, v)-r(t,.u)] - [r(s, v) r (s, и)] = (t - t) - (s-s) = 0. Пример
2. Процесс ? = (Е*), с Е0 = 0 и
называется условным винеровским процессом (заметим, что поскольку r( 1,
1) = 0, то Р(Е1 = 0)=1).
Пример 3. Процесс | = (Ы, -оо<оо, с
г (s, /) = min (s, t),
(25)
г (s, t) = min (s, t) - st
(26)
r (s, /) = e- U -s I
(27)
называют гауссовско-марковским.
§ 13. ГАУССОВСКИЕ СИСТЕМЫ
327
8. Задачи,
1. Пусть gj, ?2, - независимые гауссовские случайные величины,
0, 1). Показать, что
li + ^гЕз
V\+U
' (0, 1).
(В этой связи возникает интересная задача описания всех нелинейных
преобразований от независимых гауссовских величин |г, ..., ?",
распределение которых также является гауссовским.)
2. Доказать, что функции (25), (26), (27) являются неотрицательно-
определенными (и, следовательно, действительно являются ковариационными
функциями).
3. Пусть Л -некоторая матрица порядка тХп. Назовем матрицу А(r) порядка пХт
псевдообратной к матрице А, если найдутся такие матрицы U и V, что
АА(r)А = А, А(r) = [/А* = A*V.
Показать, что матрица А(r), определяемая этими условиями, существует и
единственна.
4. Показать, что формулы (19) и (20) в теореме о нормальной корреляции
остаются справедливыми и в случае вырождения матрицы D||, если в них
вместо Dj(| рассматривать псевдообратную матрицу Dff.
5. Пусть (0, |) = (01...0ft; ..., I/) - гауссовский вектор с невырожденной
матрицей А = Dee- D^Dej. Показать, что у функции распределения Р (0 sga j
I) = Р (0t ^ аи ..., %k ^ak 1?) существует (Р-п. н.) плотность р(а1г ak
|?), определяемая формулой Р (Д ak 11) =
-1/2
(2л)*/2
exp {-i(a-M(01 ?))*Д-г (а - М (01 ?))}.
6. (С. Н. Бернштейн). Пусть \ и ^ - независимые одинаково
распределенные случайные величины с конечной дисперсией. Доказать, что
если 1 + ц и \ - т) независимы, то \ и т) являются гауссовскими
величинами.
ГЛАВА III
СХОДИМОСТЬ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР.
ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА
§ 1. Слабая сходимость вероятностных мер
и распределений
1. Многие из фундаментальных результатов теории вероятностей
формулируются в виде предельных теорем. В форме предельной теоремы было
