Вероятность - Ширяев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
сформулировано утверждение, названное законом больших чисел Я. Бернулли,
эту форму имела теорема Муавра - Лапласа, с которых, собственно говоря, и
началась истинная теория вероятностей.
В настоящей главе мы остановимся на двух основных аспектах теории
предельных теорем: на понятии слабой сходимости и на методе
характеристических функций, являющимся одним из самых мощных средств
доказательства предельных теорем и их уточнений.
Напомним для начала формулировку закона больших чисел (гл. I, § 5) в
схеме Бернулли.
Пусть lu ?2, ... - последовательность независимых одинаково
распределенных случайных величин с Р(^=1) = р, P(?i=0) = p, р + <7=1.
Используя введенное в § 10 гл. II понятие сходимости по вероятности закон
больших чисел Я. Бернулли можно сформулировать в следующей форме:
где Sn = ^-f ... -f 1". (В гл. IV будет показано, что на самом деле здесь
имеет место и сходимость с вероятностью единица.) Обозначим
п -> со
(1)
ад = р{^г<*}
§ 1 СЛАБАЯ СХОДИМОСТЬ
з:9
где F (х) - функция распределения вырожденной случайной величины | = р.
Пусть также Р" и Р - вероятностные меры на (R, $3(Д)), отвечающие
функциям распределения Fn и F.
В соответствии с теоремой 2 из § 10 главы II сходимость по
вероятности ~~ i р влечет за собой сходимость по распределению р,
означающую, что
щ(^.уМПр), п^сю, (3)
для любой функции f - f(x) из класса 0 (R) непрерывных ограниченных
функций на R.
Поскольку
(пг)= S р,г (р)==1? ^ р (dx)'
R К
то (3) можно переписать в форме
\f(x)Pn(dx)-+\f(x)P(dx), f<=$(R), (4)
R R
или (в соответствии с обозначениями § 6 гл. II) -в форме
\f{x)dFn{x)^\f{x)dF(x), /eC(R). (5)
R R
В анализе сходимость (4) называют слабой сходимостью (мер Р" к мере Р, п-
>оо) и записывают в виде P"-(r)-P. Естественно и сходимость (5) также
назвать слабой сходимостью функций распределений Fn к F и обозначить ее
Fп - F.
Итак, можно утверждать, что в схеме Бернулли
b-r.p=}Fn^F. (6)
Из (1) нетрудно также вывести, что для функций распределения, введенных в
(2),
Fn(x)-+F(x), п-> оо,
для всех точек хеК за исключением одной точки х = р, где функция F (х)
терпит разрыв.
Это обстоятельство показывает, что слабая сходимость Fn F не влечет за
собой поточечную сходимость функций F"(x) к F (х), п -> оо, для всех
точек x^R. Оказывается, однако, Что как в случае схемы Бернулли так и в
общем случае произвольных функций распределения, слабая сходимость
эквивалентна (см. далее теорему 2) так называемой сходимости в основном в
смысле следующего определения.
330
ГЛ. III. СХОДИМОСТЬ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР
Определение 1. Последовательность функций распределения {Fn}, заданных на
числовой прямой, называется сходящейся в .основном к функции
распределения F (обозначение: Fn=$F), если при /г-у со
где (r) (F) - множество точек непрерывности предельной функции
В рассматриваемом случае схемы Бернулли функция F = F(x) вырождена, и-
отсюда нетрудно вывести (см. задачу 7 к § 10 в гл. II), что
и, следовательно, утверждение закона больших чисел можно рассматривать
как одну из теорем о слабой сходимости функций распределений,
определенных в (2).
Обозначим
Теорема Муавра - Лапласа (§ 6 гл. I) утверждает, что Fn (а')-у -+F(x) для
всех xeR и, следовательно, В силу отме-
ченной эквивалентности слабой сходимости Fп -* F и сходимости в основном
Fn=>F можно, следовательно, сказать, что теорема Муавра- Лапласа есть
также утверждение о слабой сходимости функций распределений, определенных
в (8):
Эти два примера оправдывают концепцию слабой сходимости вероятностных
мер, вводимую далее в определении 2. Хотя для случая числовой прямой
слабая сходимость равносильна сходимости в основном соответствующих
функций распределения, предпочтительнее, однако, в качестве исходной
рассматривать именно слабую сходимость, во-первых, потому что она проще
поддается анализу, и, во-вторых, по той причине, что она имеет смысл и
для более общих пространств, нежели числовая прямая, в частности для
метрических пространств, важнейшими примерами которых для нас являются
пространства Rn, Rx, С и D (см. § 3 гл. II).
2. Пусть (Е, р) - метрическое пространство с метрикой р = р (х, у),
ст-алгеброй Ш борелевских подмножеств, порожденных
F"(x)^F(x), >:e(D(F)
F = F( х).
Таким образом, с учетом приводимой ниже теоремы 2
Л => (Fn ^F)c=> (Fn => F) => (4г Л р)
(8)
- СО
§ 1. СЛАБАЯ СХОДИМОСТЬ 331
открытыми множествами, и пусть Р, Рх, Р2, ..."-вероятностные меры на (Е,
Ш, р).
Определение 2. Последовательность вероятностных мер {Р"} называется слабо
сходящейся к вероятностной мере Р (обозначение: Р" Р), если
$ / (х) Р" (dx) ->\f(x)P (dx) (9)
Е Е
для любой функции f = f(x) из класса С (Е) непрерывных ограниченных
функций на Е.
Определение 3. Последовательность вероятностных мер {Р"} называется
сходящейся в основном к вероятностной мере Р (обозначение: Р"=>Р), если
Р"(Л)->Р(Л) (10)
для любого множества А из &, для которого
Р(<М) = 0. (11)
(Через дА обозначается граница множества А:
