Вероятность - Ширяев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
закона для сумм Sn= ^ + "5=1, независимых случайных величин в форме
утверждения, что для всякого е > О
(1)
(См. задачу 2.)
Далее, Чебышевым был создан (и Марковым усовершенствован) так называемый
"метод моментов", который позволил установить,
§ 3. МЕТОД ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЯ
343
что утверждение теоремы Муавра - Лапласа, записанное в виде
<2>
-со
носит универсальный характер в том смысле, что оно справедливо в очень
общих предположениях относительно природы суммируемых случайных величин.
Именно это дало основание называть утверждение (2) центральной предельной
теоремой теории вероятностей.
Несколько позже Ляпунов предложил иной метод доказательства центральной
предельной теоремы, в основе которого лежала (восходящая к Лапласу) идея
"характеристической функции" распределения вероятностей. Последующее
развитие показало, что "метод характеристических функций" Ляпунова
является весьма эффективным при доказательстве самых разнообразных
предельных теорем, что и обусловило его развитие и широкое применение.
Сущность этого метода состоит в следующем.
2. Мы уже знаем (§ 12 гл. И), что между функциями распределения и
характеристическими функциями существует взаимно однозначное
соответствие. Поэтому изучение свойств функций распределения можно
проводить, изучая соответствующие характеристические функции.
Замечательным сказывается то обстоятельство, что слабая сходимость Fn F
функций распределения эквивалентна поточечной сходимости фл-*-ф
соответствующих характеристических функций. Более того, имеет место
следующий результат, являющийся основным средством доказательства теорем
о слабой сходимости распределений на числовой прямей.
Теорема 1 (теорема непрерывности). Пусть {F"} - последовательность
функций распределения Fn = Fn(x), x^R, и |фл)- соответствующая
последовательность характеристических функций,
СО
Фп(0= \ eilxdFn(x), t<=R.
-СО
1) Если Fn w< F, где F = F (х) - некоторая функция распределения, то
фл(0->-ф(0* t е Rt г&е ф (t) - характеристическая функция F = F (х).
2) Если при каждом t^R существует Птфл(/) и функция
П
Ф(/) = Пгпфл(0 непрерывна в точке t - 0, то она является харак-
П
теристической функцией некоторого распределения вероятностей F~F(x) и
Fn ^ F.
344
ГЛ. III. СХОДИМОСТЬ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР
Доказательство утверждения 1) сразу следует из определения слабой
сходимости, примененного к функциям Reeitx и lmeitx.
Доказательству утверждения 2) предпошлем несколько вспомогательных
предложений.
Лемма 1. Пусть {Р"} - плотное семейство вероятностных мер. Предположим,
что каждая слабо сходящаяся подпоследовательность {РП'}
последовательности {Р"} сходится к одной и той же вероятностной мере Р.
Тогда и вся последовательность {Р"} слабо сходится к Р.
W
Доказательство. Допустим, что Р"-/>Р. Тогда найдется такая ограниченная
непрерывная функция f = f(x), что
J f(x) Pn(dr)^*\f(x)P (dx).
R R
Отсюда следует, что существуют е>0 и бесконечная последовательность чисел
{п'}^ {п} такие, что
S / (х) Рп- (dx) - J / (х) Р (dx)
¦¦ г > 0. (3)
По теореме Прохорова (§ 2) из последовательности {Рп-} можно выбрать
подпоследовательность {Р""} такую, что Рп-- - Q, где Q -некоторая
вероятностная мера.
По предположению леммы Q = P, и, значит,
$ / (х) РП" (dx) -*-$/(*) Р (dx),
R R
что находится в противоречии с (3). Лемма доказана.
Лемма 2. Пусть {Р"} - площное семейство вероятностных мер на (R, S3(R)).
Последовательность {Р"} слабо сходится к некоторой вероятностной мере
тогда и только тогда, когда для каждого t^R существует limср"(/), где
cpn(t) - характеристи-
П
ческая функция меры Рп:
4>п (t) = \ eitx Рп (dx).
R
Доказательство. Если семейство {Р"} плотно, то по теореме Прохорова
найдется подпоследовательность {Рпф и вероятностная мера Р такие, что Р"/
- Р. Предположим, что вся последовательность {Р"} не сходится к р(р"-
/*р). Тогда в силу леммы 1 найдется подпоследовательность {Рп-} и
вероятностная мера Q такие, что P"'<-^Q, 'причем P=?^Q.
§ 3 МЕТОД ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 345
Воспользуемся теперь тем, что при каждом t е R существует Игпфл(/). Тогда
П
lim \ ei/xPn' (dx) - lim {eiixPnn (dx)
n' д n" R
и, значит,
]e"xP(dx)^\e1<xQ(dx), t <= R.
R R
Но характеристическая функция однозначно определяет распределение
(теорема 2 § 12 гл. II). Поэтому P = Q, что противоречит
W
предположению Pn-fr Р.
Что же касается обратного утверждения леммы, то оно непосредственно
следует из определения слабой сходимости.
Следующая лемма дает оценку "хвостов" функции распределения по поведению
ее характеристической функции в окрестности нуля.
Лемма 3. Пусть F = F (х) - функция распределения на числовой прямой и ф =
ф (t) - ee характеристическая функция. Тогда существует такая константа К
> 0, что для всякого а > О
а
$ df (*)==?-^ t1 ~Re(PW]^ (4)
1*1 >1 /а О
со
Доказательство. Поскольку Неф(^)= ^ cos txdF (х), то,
-СО
применяя теорему Фубини, находим, что
а а р оо
~ ^ [1 - Иеф (t)]dt = ^ J J (I - cos tx) dF (x)]dt=>
