Вероятность - Ширяев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
<эл = [Л] п [А],
где [Л] - замыкание множества А.)
Следующая важная теорема показывает эквивалентность понятий слабой
сходимости и сходимости в ссновном для вероятностных мер, а также
содержит другие равносильные формулировки. Теорема 1. Следующие
утверждения эквивалентны.
I. Р"-^Р.
II. lim Р" (A) Р (Л), Л - замкнутые множества.
III. limР"(Л)SsР (Л), Л - открытые множества.
IV. Р"^Р.
Доказательство. (1)=>(П). Пусть Л -замкнутое мно-
жество, / (х) = 1а (х) и
/е М = Р (Ч Л)), е>0,
где
р(х, А) = Ш{р(х, у)\ у е Л},
( 1, t^O,
*(*) = ] 1 -tt 0^*<1,
[о, t^l.
332 гл. Ш. СХОДИМОСТЬ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР
Обозначим также
Ае = {х: р(х, А) < е}
и заметим, что Ае j А, е j 0.
Поскольку функции /е (*) ограничены, непрерывны и
Р" (А) = $ Iа {х) Р" (d*) < J /в (*) Pn (dx),
Е Е
10
lim Рп (Л) : lim ^ /в (я) Р" (с?лг) =
/г п Е
= J/е (*) Р (^)<Р (>U j Р(Л), 8 j 0,
Е
что и доказывает требуемою импликацию.
Импликации (11)=>(Ш) и (Ш)=>(П) становятся очевидными, если от множеств
перейти к их дополнениям.
(III) (IV). Пусть Л° = Л дА -внутренность, а \А] - замыкание множества А.
Тогда в силу II, III и предположения Р (дА) = 0
ПЕ Р" (А) < lim Р" ([Л]) < Р ([Л]) = Р (Л),
п п
lim Рп (Л) Ss lim Р" (Л°) ' Р (А0) = Р (Л),
п -
и, значит, Ри(Л)->-Р(Л) для всякого Л с Р(<ЭЛ) = 0.
(IV) =>(!)• Пусть / = / (л;) - непрерывная ограниченная функция с ! f (х)
{ < М. Обозначим
D = {/ ед Я: Р {*: / (л:) = t) ф 0}
и рассмотрим разбиение Tk = (t{), tly ..., tk) интервала [ - М,М\.
-M = tt<t1<...<tk = M, kSzl,
с ti^D, f = 0, 1, ..., k. (Заметим, что множетво D не более чем счетно,
поскольку множества f*1 {/} не пересекаются, а мера Р конечна.)
Пусть Bi = {лп ti <:/ (х) < Поскольку функция / (ос) непрерывная и,
следовательно, множество Z-1 (V,-, /,-+1) открыто, то дБ, s/_1 {/,¦} U/-1
U"+i}- Точки tiy tl+1 D, поэтому P(di?,-)=0 и в силу (IV)
^tiPn(Bi)->kyitlP(Bl). (12)
<=о 1= о
§ 1. СЛАБАЯ СХОДИМОСТЬ
333
Но
\ f (X) Рл (dx) - \f(x) Р (dx)
6-1
+
XtiPn(Bi)-ZtiP(Bi)
i-0 i=0
^f(x)Pn(dx)~ ^ /,РЛ(Д)
i=0
+
+
;2 max (tl+1 - ti) +
OsSisCA- 1
2 UP (Bt)~ \f(x)P(dx)
(=0 E
21 /,Р"(5г)-|; *<P №)
1=0 1=0
откуда в силу (12) и произвольности разбиений Тк, k^sl, lim \f(x)Pn(dx) =
\f (х)Р(dx).
Теорема доказана.
Замечание 1. Участвующие в доказательстве импликации I => 11 функции f(x)
- lA(x) и fs(x) являются соответственно полунепрерывными сверху и
равномерно непрерывными. Учитывая это обстоятельство, нетрудно показать,
что каждое из"условий теоремы эквивалентно одному из нижеследующих
условий:
(V) jj / (х)Рп (dx) -у \f (х)Р (dx) для всех ограниченных равно-
Е Е
мерно непрерывных функций f (х)\
(VI) lim jj/ (*)РЛ (dx) ^ ^ / (х)Р (dx) для всех ограниченных
п Е Е ___
функций f (х), являющихся полунепрерывными сверху /lim/(*")
\ "
</М, хп-+х)\
(VII) lim f(x)Pn(dx)^s ^f(x)P(dx) для всех ограниченных
п Е Е
функций f(x), являющихся полунепрерывными снизу /limf(xn)^
^sf(x),
Замечание 2. Теорема 1 допускает естественное обобщение на тот случай,
когда вместо вероятностных мер Р и Рл, заданных на (Е, Ш, р),
рассматриваются произвольные (не обязательно вероятностные) конечные меры
|х и |хл. Для таких мер совершенно аналогично вводятся понятия слабой
сходимости
W
Рп -> (х, сходимости в основном => (х и, так же как в теореме 1,
устанавливается эквивалентность следующих условий:
I*. рл -|х;
II*. Пт|хл(Л)=^|х(Л), А-замкнутые множества, и |хл (?)-*" ~гц(Е);
334 гл. III. СХОДИМОСТЬ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР
III*. (A) 3s р, (Л), А -открытые множества, и р" (?)->
м- (?); "
IV*. р,"=>ц.
#
Каждое из этих условий равносильно любому из условий V*, VI*, VII*,
формулируемых как и V, VI, VII с заменой мер Р" и Р на fi" и р,
соответственно.
3. Пусть (R, (R)) - числовая прямая с системой борелев-
ских множеств сi>3 (R), порожденных евклидовой метрикой р (х, у) - = \х-
у\ (ср. с замечанием 2 в п. 2 § 2 гл. II). Обозначим Р, Рп, ftSsl,
вероятностные меры на (R, <?fc(R)), и пусть F, Fn, "3s 1, -
соответствующие им функции распределения. Тогда справедлива
Теорема 2. Следующие условия эквивалентны'.
(1) Р"^Р,
(2) РЛ=>Р,
(3) Fn^F,
(4) Fn=>F.
Доказательство. Поскольку (2) о (1) о (3), то достаточно доказать, что
(2) о (4).
Если Рл => Р, то, в частности,
Рп ( - оо, х] ->¦ Р (- оо, х]
для всех х е R таких, что Р{х} = 0. А это н означает, что
Fn=>F.
Пусть теперь Fn F. Для доказательства сходимости Р" => Р
достаточно (в силу теоремы 1) показать, что lim P" (A) 3s Р (А)
П
для всякого открытого множества А.
Если А - открытое множество, то найдется счетная система непересекающихся
открытых интервалов Д, /2, ... (вида (а, Ь))
СО
таких, что Д = 2 /*. Зафиксируем е > О и выберем в каждом А=1
интервале Д = (ak, bk) подынтервал Vk = (ак, ЬЦ] такой, что а'.,
/>*е(С(Е) и Р (/ft)^P(/ft)+e • 2~k. (Поскольку множество точек разрыва
функции Е = Ё (х) не более чем счетно, такие интервалы Д, &3s 1.
действительно существуют.) Тогда по лемме Фату
ОО СО
Пги Р"(Л) = ljm 2 Pn(/ft)^= S lilT1 Рn(h)^
