Вероятность - Ширяев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
' п п k=* 1 k~l п
со
Зг 2 Нш Рл (Л).
ft=l п
§ 1. СЛАБАЯ СХОДИМОСТЬ 335
Но
Рп (П) = Fn (b'k) - Fn (a'k) -> F (b'k) - F(a'k) = P (/*).
Поэтому
00 CO
limP" (P (/*)-е-2-*) = Р(Л)-е,
n k- i
что в силу произвольности е>0 доказывает, что limP"(А)^
П
(А), если Л -открытое множество.
Теорема доказана.
4. Пусть (Е, %) - измеримое пространство. Систему подмножеств Ж0 (?)д|
назовем определяющим классом, если для любых двух вероятностных мер Р и
Q, заданных на (Е, ?), из равенства
Р (А) = Q (А) для всех А е Ж0 (Е) вытекает, что эти меры совпадают
тождественно, т. е.
Р (А) = Q(А) для всех Л е К.
Если (Е, Ш, р) - метрическое пространство, то систему подмножеств ЖЛ (Е)
е Ш назовем классом, определяющим сходимость, если для любых мер Р, Plt
Р2, ... из того, что
Р" (А) -> Р (А) для всех А е Жх (Е) с Р (дА) = О вытекает, что
Р" (А) -> Р (А) для всех А е Щ с Р (дА) = 0.
В случае (Е, Щ = (R, S3 (R)) в качестве определяющего класса Ж0 (?!)
можно взять класс "элементарных" множеств Ж = {( - оо, х], хе?!} (теорема
1 из § 3 гл. II). Из эквивалентности условий (2) и (4) теоремы 2
вытекает, что класс Ж является также и классом, определяющим сходимость.
Естественно возникает вопрос о таких определяющих классах и для более
общих пространств.
В случае пространств Rn, п^ 2, класс Ж "элементарных" множеств вида (-
оо, х] = (- оо, хг] X ... X ( - со, хп], х = = (х1( ..., х") е Rn
является как определяющим классом (теорема 2 из § 3 гл. II), так и
классом, определяющим сходимость (задача 2).
В случае пространства RM цилиндрические множества Ж$ (R^) являются теми
"элементарными" множествами, по вероятностям которых однозначно
определяется вероятность для всех борелев-ских множеств (теорема 3 из § 3
гл. II). Оказывается, что в этом случае класс цилиндрических множеств
является тем классом,
336
ГЛ. III СХОДИМОСТЬ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР
который определяет также и сходимость (задача 3). Таким образом, SVl(Rco)
= SV0(Rco).
Можно было бы ожидать, что и в случае более общих пространств класс
цилиндрических множеств является классом, определяющим сходимость.
Однако, вообще говоря, это не верно.
Так, например, рассмотрим пространство (С, а(c)0 (С), Р) с равномерной
метрикой р (см. п. 6'§ 2 гл. II). Пусть Р - вероятностная мера, целиком
сосредоточенная на ф>нкции л:*==0, 1, а Р" - вероятно-
стные меры, 1, каждая из которых сосредоточена на функции х",
изображенной на рис. 35. Нетрудно убедиться, -что -и- Р,г (А) ->¦ Р (А)
для всех цилиндрических мно-'П 2'п 1 i жеств А с Р(дЛ)=0. Но, если
взять, на-
р 35 пример, множество
A={xseC: U ^^о(С),
то Р(дЛ) = 0, Р"(Л) = 0, Р (А) == 1 и, следовательно, Рпф> Р.
Таким образом, (С) = <?@0 (С), но &?0 (С) а &С1 (С) (включение строгое!).
5. Задачи.
1. Будем говорить, что функция F = F(x), заданная на Rn, непрерывна в
точке х е Rn, если для любого е >¦ 0 найдется такое 6;>0, что | F (х) - F
(у) | < е для всех y^Rn, удовлетворяющих неравенству
х - 8е < у <; х + be,
где е = (1, ..., 1) G К". Будем говорить также, что последовательность
функций распределения {Fn} сходится в основном к функции распределения
F(Fn=>F), если Fn(x)-+F(x) для всех точек хе!?", где функция F = F(x)
непрерывна.
Показать, что утверждение теоремы 2 остается справедливым для Rn, 1. (См.
замечание к теореме 2.)
2. Показать, что в случае пространств R4 класс "элементарных" множеств
является классом, определяющим сходимость.
3. Пусть Е - одно из пространств Rээ, С или D. Будем говорить, что
последовательность вероятностных мер {Р"} (заданных на a-алгебре ё
борелевских множеств, порожденных открытыми множествами) сходится в
основном в смысле конечномерных
распределений к вероятностной мере Р (обозначение: Р":=> Р), если Рл(Л)-
>Р(Л), п -оо, для всех цилиндрических множеств А с Р (дА) = 0.
Показать, что в случае пространства R/°
(Р"^Р)"(Р"^Р),
§ 2. ОТНОСИТЕЛЬНАЯ КОМПАКТНОСТЬ И ПЛОТНОСТЬ
337
4. Пусть F и G - функции распределения на числовой прямой
н
L(F, G) = inf{/i>0: F (х - h) - h ==? G (a:) sg F (x + h) -j- h}
- расстояние Jleeu (между F и G). Показать, что сходимость в основном
эквивалентна сходимости в метрике Леви:
5. Пусть и функция распределения F является непре-
рывной. Показать, что тогда сходимость Fn(x) к F (х) равномерна:
6. Доказать утверждение, сформулированное в замечании 1 к теореме 1.
7. Убедиться в справедливости эквивалентности условий (I*) - (IV*),
сформулированных в замечании 2 к теореме 1.
8. Показать, что Р"-^Р тогда и только тогда, когда всякая
подпоследовательность {Р"-} последовательности {РД содержит
подпоследовательность {Р""} такую, что Рп" Р.
§ 2. Относительная компактность и плотность семейств
вероятностных распределений
1. Если задана последовательность вероятностных мер, то прежде чем
рассматривать вопрос о ее (слабой) сходимости к той или иной
вероятностной мере, следует, конечно, выяснить, а сходится ли вообще эта
последовательность к некоторой мере или имеет она хотя бы одну сходящеюся
