Вероятность - Ширяев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
2. Пусть ? = (?!,..., In) И М||?|| "<оо, где |]SU=+K.?^-Показать, что
п
к = О
где t = (tlt ... , t") и ея(/)->0, /->0.
3. Доказать теорему 2 для я-мерных функций распределения F = F л (Xj, ...
, хл) и G - Gn (Xj,... , хл).
4. Пусть F = F(xlt ... , xj - я-мерная функция распределения, Ф = <р(/1,
..., tn) - ее характеристическая функция. Используя обозначение (3.12),
установить справедливость формулы обращения
Р (a, b]=\irn -~г j JJ e~"kak-e~t<kbk Ф ((х... t") dt^... Л*.
- С &= 1
(Предполагается, что (а, b] является интервалом непрерывности функции Р
(а, Ь], т. е. при Всех k = l, ... , л точки а/г, bk являются точками
непрерывности маргинальных функций распределения Fk(xk), полученных из
F(xlt ... , х"), если положить все переменные, за исключением хк, равными
+оо.)
5. Пусть ф*(0> 1,- характеристические функции, а неотрицательные числа
k^l, таковы, что Показать, что
функция ^^k4>k(i) является характеристической.
6. Если ф(() -характеристическая функция, то будут ли Recp(() и Im ф (/)
- характеристическими функциями?
7. Пусть ф1( ф2, ф3 - характеристические функции и фхф2 = фхФз. Следует
ли отсюда, что ф2 = ф3?
8. Составить таблицу характеристических функций для распределений,
приведенных в табл. 1 и 2 § 3.
9. Пусть ?- целочисленная случайная величина и ф|(()-ее
характеристическая функция. Показать, что
П
Р(I = k) = 2*- ^ е~мфД()Л, k = 0, ± 1, ±2 ...
- л
§ 13. Гауссовские системы
1. Гауссовские, или нормально распределенные, случайные величины,
гауссовские процессы и системы играют исключительно важную роль в теории
вероятностей и математической статистике. Объясняется это прежде всего
справедливостью центральной предельной теоремы (§ 4 гл. Ill), частным
случаем которой яв-
§ 13 ГАУССОВСКИЕ СИСТЕМЫ
317
ляется теорема Муавра - Лапласа (§ 6 гл.1). Согласно этой теореме
нормальное распределение носит универсальный характер в том смысле, что
распределение суммы большого числа независимых случайных величин или
случайных векторов, подчиняющихся не слишком стеснительным условиям,
хорошо аппроксимируется этим распределением.
Именно это обстоятельство дает теоретическое объяснение распространенному
в статистической практике "закону ошибок", выражающемуся в том, что
ошибка измерения, слагающаяся из большого числа независимых
"элементарных" ошибок, подчиняется нормальному распределению.
Многомерное гауссовское распределение описывается небольшим числом
параметров, что является несомненным его достоинством при построении
простых вероятностных моделей. Гауссовские случайные величины имеют
конечный второй момент, и, следовательно, их свойства могут изучаться
методами гильбертова пространства. Важным при этом оказывается то
обстоятельство, что в гауссовском случае некоррелированность превращается
в независимость, что дает возможность значительно усилить результаты "Г2-
теории".
2. Напомним, что (согласно § 8) случайная величина ? = ? (со)
называлась гауссовской или нормально распределенной с параметрами т и
ог(1^(r)^(т, а2)), |т|<;оо, а2>0, если ее
плотность /|(х) имеет следующий вид:
(х- т)2
^=7кое~ 202 *
где а = + У'о2.
При а j 0 плотности /| (х) "сходятся к 6-функции, сосредоточенной в точке
х - m". Поэтому естественно сказать, что случайная величина I нормально
распределена с параметрами шиа2 = 0
0)), если | такова, что Р(? - т) = 1.
Можно дать, однако, такое определение, которое сразу будет охватывать как
невырожденный (о2 > 0), так и вырожденный (о2 = 0) случаи. С этой целью
рассмотрим характеристическую функцию Ф|(/)==Ме'71, t^R.
Если Р(? = т) = 1, то очевидно, что
Ф ь(*) = еи", (2)
а если а2), а2>0, то, согласно (12.9),
tw
Ф l(t) = em 2 (3)
Легко видеть, что при о2 = 0 правая часть (3) совпадает с правой частью
(2). Отсюда и из теоремы 1 § 12 следует, что гауссовскую случайную
величину | с параметрами tn и а2 (\т \ < оо, а2 ^ 0) можно определить как
такую величину, для которой характе-
318 ГЛ П. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
ристическая функция ф| (t) задается формулой (3). Подход, основанный на
привлечении характеристических функций, особенно удобен в многомерном
случае.
Пусть 6 = (^!, ... , tn) - случайный вектор и
Фб(0 = М^ Ч t = (tlt... , We/?", (4)
- его характеристическая функция (см. определение 2 в § 12).
Определение 1. Случайный вектор ^ = ... , Е") назы-
вается гауссовским или нормально распределенным, если его
характеристическая функция (t) имеет следующий вид:
... Н', rn) - -i- (|R(, t)
Фб(0 = е 2 (5)
где т = (ти.,., тп), \mk\<.co и IR = || гы || - симметрическая
неотрицательно определенная матрица порядка пхп (для краткости будем
использовать обозначение: ? ^Г(т, R)).
В связи с данным определением возникает прежде всего вопрос о том, а
является ли функция (5) характеристической? Покажем, что это
действительно так.
С этой целью предположим сначала, что матрица R является невырожденной.
Тогда определены обратная матрица Л - R-1 и функция
fW= Щйехр{-тг(л(*-""))}• (6)
